Les Mathématiques pour CPGE

Énoncé: Exercice 1: Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite de réels strictement positifs. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $$ u_n = \sqrt{a_1 + \sqrt{a_2 + \ldots +\sqrt{a_n}}} \ (radicaux \ itérés) $$. Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante. Dans cette équation, on suppose que $\forall n \in \mathbb{N}^* \ a_n = 1$. Établir alors une ralation simple entre $u_n$ et $u_{n+1}$. En déduire que $(u_n)$ converge et préciser sa limite. Soit $\lambda \in \mathbb{R}^*_+$ fixé. Dans cette question, on suppose que $$ \forall n \in \mathbb{N}^* \ a_n = \lambda^{2^n}$$. Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite. Soient $(a_n)$ et $(a'_n)$ deux suites à termes strictement positifs, soient $(u_n)$ et $(u'_n)$ les suites associées. Montrer que $$( \forall n \in \mathbb{N}^* \ a_n \le a'_n) \Rightarrow (( \forall n \in \mathbb{N}^* \ u_n \le u'_n) $$ . Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente si, et seulement si, la suite $(2...

Énoncé: Exercice 1: Montrer que toute suite convergente est bornée. Exercice 2: Montrer qu'une suite d'entiers qui converge est stationnaire à partir d'un certain rang. Exercice 3: Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par  $$ u_n =(-1)^n +\frac{1}{n}$$ n'est pas convergente. Exercice 4: Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de $\mathbb{R}$. Que pensez-vous des propositions suivantes: Si $(u_n)_n$ converge vers un réel $\ell$ alors $(u_{2n})_n$ et $(u_{2n+1})_n$ converge vers $\ell$. Si $(u_{2n})_n$ et $(u_{2n+1})_n$ sont convergentes, il en est de même de $(u_n)_n$. Si $(u_{2n})_n$ et $(u_{2n+1})_n$ sont convergentes, de même limite $\ell$, il est de même de $(u_n)_n$. Exercice 5: Soit $q$ un entier au moins égal à $2$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $u_n = cos \frac{2n \pi}{q}$. Montrer que $u_{n+q}=u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Calculer $u_{nq}$ et $u_{nq+1}$....

Énoncé: Exercice 1: On considère que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 =3$ et $u_{n+1}=\frac{2+3u_n}{2+u_n}$. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel, $n$, $u_n >0$. Montrer par récurrence que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante. Exercice 2: Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite qui tend vers une limite $\ell$ (dans $\mathbb{R}$). Quelle est la limite de la suite $(|u_n|)_{n \in \mathbb{N}}$ ? Si $\lim_{n \rightarrow \infty}|u_n|=\ell$, est-ce que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tend aussi vers une limite? Si oui, que peut être cette limite? Le démontrer. Exercice 3: Soit $u_0 = x \in \mathbb{R}$ et $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=u_n + u_n^2$. Etudier le comportement en l'infini de $u$ selon la valeur du réel $x$. Exercice 4: Soit une suite $(a_n)_n$ vérifiant pour tout entier $n : 0 \le a_n \le 1$. On considère la suite : $u_0 = 0$; $u_{n+1}=u_n + \frac{a_n}{2^{n+1}}...