Suites: Convergence

Énoncé:

Exercice 1:

Montrer que toute suite convergente est bornée.

Exercice 2:

Montrer qu'une suite d'entiers qui converge est stationnaire à partir d'un certain rang.

Exercice 3:

Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par 

$$ u_n =(-1)^n +\frac{1}{n}$$

n'est pas convergente.

Exercice 4:

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de $\mathbb{R}$. Que pensez-vous des propositions suivantes:

• Si $(u_n)_n$ converge vers un réel $\ell$ alors $(u_{2n})_n$ et $(u_{2n+1})_n$ converge vers $\ell$.
• Si $(u_{2n})_n$ et $(u_{2n+1})_n$ sont convergentes, il en est de même de $(u_n)_n$.
• Si $(u_{2n})_n$ et $(u_{2n+1})_n$ sont convergentes, de même limite $\ell$, il est de même de $(u_n)_n$.

Exercice 5:

Soit $q$ un entier au moins égal à $2$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $u_n = cos \frac{2n \pi}{q}$.

1. Montrer que $u_{n+q}=u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
2. Calculer $u_{nq}$ et $u_{nq+1}$. En déduire que la suite $(u_n)$ n'a pas de limite.

Exercice 6:

Soit $H_n = 1+ \frac{1}{2}+\ldots +\frac{1}{n}$.

1. En utilisant une intégrale, montrer que pour tout $n>0$ : $\frac{1}{n+1} \le \ln (n+1)- \ln (n)$.
2. En déduire que $\ln (n+1) \le H_n \le \ln (n) +1$.
3. Déterminer la limite de $H_n$.
4. Montrer que $u_n = H_n - \ln (n)$ est décroissante et positive.
5. Conclusion?

Corrigé:

Exercice 1:

Soit $(u_n)$ une suite convergente vers $\ell \in \mathbb{R}$. Par définition

$$ \forall \epsilon >0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n \ge N \ |u_n - \ell | < \epsilon $$.

Choisissons $\epsilon =1$, nous obtenons le $N$ correspondant. Alors $n \ge N$, nous avons $|u_n - \ell | <1$; autrement dit $\ell -1 <u_n < \ell +1$. Notons $M=max_{n=0, \ldots , N-1} \{u_n \}$ et puis $M' = max(M, \ell +1)$. Alors pour tout $n \in \mathbb{N} \ u_n \le M'$. De même en posant $m=min_{n=0, \ldots, N-1} \{u_n \}$ et $m'=min(m, \ell -1)$ nous obtenons pour tout $n \in \mathbb{N}, \ u_n \ge m'$.

Exercice 2:

Soit $(u_n)$ une suite d'entiers qui converge vers $\ell \in \mathbb{R}$. Dans l'intervalle $I= ]\ell - \frac{1}{2}, \ell +\frac{1}{2}[$ de longueur $1$, il existe au plus un élément de $\mathbb{N}$. Donc $I \cap \mathbb{N}$ est soit vide soit un singleton $\{ a \}$.

La convergence de $(u_n)$ s'écrit:

$$ \forall \epsilon >0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ tel \ que \ (n \ge N \Rightarrow |u_n - \ell |)$$.

Fixons $\epsilon = \frac{1}{2}$, nous obtenons un $N$ correspondant. Et pour $n \ge N, \ u_n \in I$. Mais de plus $u_n$ est un entier, donc

$$ n \ge N \Rightarrow u_n \in I \cap \mathbb{N}$$.

En conséquence, $I \cap \mathbb{N}$ n'est pas vide (par exemple $u_N$ en est un élément) donc $I \cap \mathbb{N} = \{ a \}$. L'implication précédente s'écrit maintenant:

$$n \ge N \Rightarrow u_n = a$$.

Donc la suite $(u_n)$ est stationnaire (au moins) à partir de $N$. En prime, elle est bien évidement convergente vers $\ell = a \in \mathbb{N}$.

Exercice 3:

Il est facile de se convaincre que $(u_n)$ n'a pas de limite, mais plus délicat d'en donner une démonstration formelle. En effet, dès lors qu'on ne sait pas qu'une suite $(u_n)$ converge, on ne peut pas écrire $\lim u_n$, c'est un nombre qui n'est pas défini. Par exemple l'égalité

$$ \lim_{n \to +\infty}(-1)^n +\frac{1}{n} = \lim_{n \to +\infty}(-1)^n$$

n'a pas de sens. Par contre voilà ce qu'on peut dire: Comme la suite $\frac{1}{n}$ tend vers $0$ quand $n \rightarrow \infty$, la suite $u_n$ est convergente si et seulement si la suite $(-1)^n$ l'est. De plus, dans le cas où elles sont toutes les deux convergentes, elles ont même limite.

Exercice 4:

1. Vrai. Toutes sous-suite d'une suite convergente est convergente et admet la même limite.
2. Faux. Un contre-exemple est la suite $(u_n)_n$ définie par $u_n = (-1)^n$. Alors $(u_{2n})_n$ est la suite constante (donc convergente) de valeur $1$, et $(u_{2n-1})_n$ est constante de valeur $-1$. Cependant la suite $(u_n)_n$ n'est pas convergente.
3. Vrai. La convergence de la suite $(u_n)_n$ vers $\ell$, que nous souhaitons démontrer, s'écrit: $$ \forall \epsilon >0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ tel \ que \ (n \ge N \Rightarrow |u_n - \ell | < \epsilon )$$.

           Fixsons $\epsilon >0$. Comme, par hypothèse, la suite $(u_{2p})_p$ converge vers $\ell$ alors il existe $N_1$ tel $$ 2p \ge N_1 \Rightarrow |u_{2p}-\ell | < \epsilon$$.

           Et de même, pour la suite $(u_{2p+1})_p$ il existe $N_2$ tel que $$2p+1 \ge N_2 \Rightarrow |u_{2p+1}- \ell | < \epsilon $$.

            Soit $N= max(N_1 , N_2)$, alors $$ n \ge N \rightarrow |u_n - \ell | < \epsilon $$.

            Ce qui prouve la convergence de $(u_n)_n$ vers $\ell$.

Exercice 5:

1. $u_{n+q}=cos \left( \frac{2(n+q)\pi}{q} \right) = cos \left( \frac{2n \pi}{q} +2 \pi \right) =cos \left( \frac{2n \pi}{q} \right) = u_n$.
2. $u_{nq} = cos \left( \frac{2nq \pi}{q} \right) = cos(2n \pi) =1=u_0$ et $u_{nq+1}=cos \left( \frac{2(nq+1)\pi}{q} \right) = cos \left( \frac{2 \pi}{q} \right) = u_1$. Supposons, par l'absurde que $(u_n)$ converge vers $\ell$. Alors la sous-suite $(u_{nq})_n$ converge vers $\ell$ comme $u_{nq} = u_0 =1$ pour tout $n$ alors $\ell =1$. D'autre part la sous-suite $(u_{nq+1})_n$ converge aussi vers $\ell$, mais $u_{nq+1} = u_1 =cos \frac{2 \pi}{q}$, donc $\ell = cos \frac{2 \pi}{q}$. Nous obtenons une contradiction car pour $q \ge 2$, nous avons $cos \frac{2 \pi}{q} \ne 1$. Donc la suite $(u_n)$ ne converge pas.

Exercice 6:

1. La fonction $t \mapsto \frac{1}{t}$ est décroissante sur $[n, n+1 ]$ donc $$ \frac{1}{n+1} \le \int_n^{n+1} \frac{dt}{t} \le \frac{1}{n}$$ (C'est un encadrement de l'aire de l'ensemble des points $(x,y)$ du plan tels que $x \in [n,n+1]$ et $0 \le y \le \frac{1}{x}$ par l'aire de deux rectangles.) Par calcul de l'intégrale nous obtenons l'inégalité :$$ \frac{1}{n+1} \le \ln (n+1) - \ln (n) \le \frac{1}{n}$$.
2.  $H_n = \frac{1}{n} + \frac{1}{n-1}+ \ldots + \frac{1}{2}+1$, nous majorons chaque terme de cette somme en utilisant l'inégalité $\frac{1}{k} \le \ln (k) - \ln (k-1)$ obtenue précédemment : nous obtenons $H_n \le \ln (n) - \ln (n-1) + \ln (n-1) - \ln (n-2) + \ldots - \ln (2) + \ln (2) - \ln (1) +1$. Cette somme est télescopique (la plupart des termes s'éliminent et en plus $\ln (1) =0$) et donne $H_n \le \ln (n) +1$. L'autre inégalité s'obtient de la façon similaire en utlisant l'inégalité $\ln (k+1)- \ln (k) \le \frac{1}{k}$.
3. Comme $H_n \ge \ln (n+1)$ et que $\ln (n+1) \rightarrow +\infty$ quand $n \rightarrow +\infty$ alors $H_n \rightarrow +\infty$ quand $n \rightarrow +\infty$.
4. $u_{n+1}-u_n = H_{n+1}-H_{n}-\ln (n+1) + \ln (n) = \frac{1}{n+1} - (\ln (n+1) - \ln (n)) \le 0$ d'après la première question. Donc $u_{n+1}-u_n \le 0$. Ainsi $u_{n+1} \le u_n$ et la suite $(u_n)$ est décroissante. Enfin comme $H_n \ge \ln (n+1)$ alors $H_n \ge \ln (n)$ et donc $u_n \ge 0$.
5. La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée (par $0$) donc elle converge vers un réel $\gamma$. Ce réel $\gamma $ s'appelle la constante d'Euler (d'après Leonhard Euler, 1707-1783, mathématicien d'origine suisse). Cette constante vaut environ $0.5772156649 \ldots$ mais on ne sait pas si $\gamma $ est rationnel ou irrationnel.