Suites

Énoncé:

Exercice 1:

Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite de réels strictement positifs. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $$ u_n = \sqrt{a_1 + \sqrt{a_2 + \ldots +\sqrt{a_n}}} \ (radicaux \ itérés) $$.

1. Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
2. Dans cette équation, on suppose que $\forall n \in \mathbb{N}^* \ a_n = 1$. Établir alors une ralation simple entre $u_n$ et $u_{n+1}$. En déduire que $(u_n)$ converge et préciser sa limite.
3. Soit $\lambda \in \mathbb{R}^*_+$ fixé. Dans cette question, on suppose que $$ \forall n \in \mathbb{N}^* \ a_n = \lambda^{2^n}$$. Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.
4. Soient $(a_n)$ et $(a'_n)$ deux suites à termes strictement positifs, soient $(u_n)$ et $(u'_n)$ les suites associées. Montrer que $$( \forall n \in \mathbb{N}^* \ a_n \le a'_n) \Rightarrow (( \forall n \in \mathbb{N}^* \ u_n \le u'_n) $$ .
5. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente si, et seulement si, la suite $(2^{-n}\ln a_n)$ est majorée.

Exercice 2:

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}$ et $u_n = \frac{S_n}{\sqrt{n}}$.

1. Par récurrence, montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^* \ S_n \le \sqrt{n-1} \le \sqrt{n}$.
2. Par récurrence, montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^* \ S_n \ge 2 \sqrt{n+1}-2$.
3. La suite $(S_n)$ est-elle convergent?
4. Montrer que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

Exercice 3:

1. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}^*$ une suite réelle. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $$ v_n = \frac{u_1 +u_2 +\ldots +u_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n u_k $$ ($v_n$ est la moyenne arithmétique des $n$ premiers termes de la suite $u$).

            a. On suppose que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$. Montrer que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.

                (Indication : étant donné un $\epsilon >0$, pour $n$ assez grand, on peut écrire $$v_n = \frac{1}{n}\left( \sum_{k=1}^N u_k + \sum_{k=N+1}^n u_k \right)$$ où $N$ est un entier tel que $n \ge N \Rightarrow |u_n| \le \frac{\epsilon}{2}$.

             b. En déduire que, si $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ où $\ell $ est un réel, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$.

      2.   Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $\lim _{n \to +\infty}(u_{n+1}-u_n)=\ell (\ell \in \mathbb{R})$. Monter que $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{n} = \ell$.

       3.    Soit $(x_n)$ une suite réels strictement positifs telle que  $\lim_{n \to +\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \ell$.

                  Montrer que $\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{x_n} = \ell$

       4.     En déduire $\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{C^n_{2n}}$ et $\lim_{n \to +\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}} $.

Corrigé:

Exercice 1:

1. De $a_{n+1}>0 $, on tire $a_n +\sqrt{a_{n+1}}>a_n$, puis $a_{n-1} + \sqrt{a_n +\sqrt{a_{n+1}}}>a_{n-1}+\sqrt{a_n}$ et "ainsi de suite" (récurrence descendante) jusqu'à $u_{n+1}>u_n$.
2. Dans cette question, no a $u_1 = 1$ et $u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}$.

          Soit la fonction $f : x \mapsto \sqrt{1+x}$ définie sur $[-1, +\infty[$. Elle est strictement croissante et admet pour point unique point fixe $\alpha =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (c'est le nombre d'or). L'intervalle $I=[0,\alpha ]$ est stable par $f$ (puisqu'il a pour image l'intervalle $[f(0),f(\alpha ) ] = [1, \alpha ]$) et $f(x) \ge x $ sur cet intervalle (résoudre l'inéquation). La suite $(u_n)$ est donc croissante et à valeurs dans $I$, donc majorée par $\alpha $ : elle converge donc. Sa limite est un point fixe de la fonction $f$, donc $\lim_n u_n = \alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $.

      3.   Notons $(v_n)$ la suite de la question précédente, à savoir la suite définie par la condition initiale

$v_1 = 1$ et la relation de récurrence $v_{n+1} = \sqrt{1+v_n}$. Notons $(u_n)$ la suite correspondant au choix de $a_n = \lambda^{ 2^n}$. On observe que $u_n = \lambda v_n$ : par exemple,

             Donc $\lim_n u_n = \lambda \alpha = \lambda \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
       4.   On a $a_n \le a'_n$, puis $a_{n-1}+\sqrt{a_n} \le a'_{n-1}+\sqrt{a'_n}$ et $a_{n-2}+\sqrt{a_{n-1}+\sqrt{a_n}}\le a'_{n-2}+\sqrt{a'_{n-1}+\sqrt{a'_n}}$ et ainsi, de proche jusqu'à $u_n \le u'_n$.
       5.    Supposons $\forall n \in \mathbb{N}^* \ 2^{-n} \le M$. Alors $a_n \le e^{M 2^n}= (e^M)^{2^n}$. La suite $(u_n)$ est donc inférieure à la suite $(u'_n)$ que l'on obtiendrait avec $a'_n = (e^M)^{2^n}$ pour tout $n$. Or cette dernière suite $(u'_n)$ converge en croissant (vers $e^M \alpha$); la suite $(u_n)$, croissante elle aussi, est alors majorée par ce nombre, donc elle converge.
              Si $(u_n)$, elle est majorée : soit $M >0$ tel que $u_n \le M$ pour tout $n$. Si $u_n \le M$, alors $a_n \le (u_n)^{2^n} \le M^{2^n}$, donc $2^{-n} \ln a_n \le \ln M$ et la suite $(2^{-n} \ln a_n)$ est majorée.

Exercice 2:

1. Initialisation : l'inégalité est vraie pour $n=1$ car $S_1 = 1$.

          Hérédité : si $S_n \le \sqrt{n-1} + \sqrt{n} $ pour un entier $n$ naturel non nul donné, alors $$ S_{n+1} = S_n +\frac{1}{\sqrt{n+1}}\le \sqrt{n} + \sqrt{n-1} + \frac{1}{\sqrt{n+1}}$$,

          mais $\sqrt{n-1} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} = \frac{\sqrt{n^2 - 1}+1}{\sqrt{n+1}} \le \frac{n+1}{\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}$ (car $\sqrt{n^2 - 1} \le \sqrt{n^2}=n$).

          Donc $S_{n+1} \le \sqrt{n+1}+\sqrt{n}$, ce qu'il fallait démontrer.

     2.  Initialisation : l'inégalité est vraie pour $n=1$ car $S_1 = 1 \ge 2 \sqrt{2} - 2$.

          Hérédité : si, pour $n \in \mathbb{N}^*$ donné, on a $S_n \ge 2 \sqrt{n+1}-2$, alors

$$ S_{n+1} = S_n +\frac{1}{\sqrt{n+1}}\ge 2 \sqrt{n+1} + \frac{1}{\sqrt{n+1}}-2 = \frac{2n+3}{\sqrt{n+1}}-2 $$ et, pour aboutir à l'inégalité voulue au rang $n+1$, il reste à vérifier que $\frac{2n+3}{\sqrt{n+1}} \ge 2 \sqrt{n+2}$ : montrons-le en raisonnant par équivalences : 

            ce qui est vrai.
       3.  On a $\lim_{n \to +\infty} (2\sqrt{n+1}-2) = +\infty $ et $S_n \ge 2 \sqrt{n+1}-2$. Par comparaison, $\lim_{n \to +\infty} S_n = +\infty$.
             On dit que la série de terme général $\frac{1}{\sqrt{k}}$ est divergente.
       4.   Des question 1. et 2., on en déduit l'encadrement $$ \frac{2 \sqrt{n+1}-1}{\sqrt{n}}= \lim_{n \to +\infty}\frac{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}}=2$$. Le théorème d'encadrement ("des gendarmes") permet d'affirmer que $\lim_{n \to +\infty} u_n =2$.