Contrôle Continue sur les suites

Énoncé:

Exercice 1:

On considère que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 =3$ et $u_{n+1}=\frac{2+3u_n}{2+u_n}$.

1. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel, $n$, $u_n >0$.
2. Montrer par récurrence que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante.

Exercice 2:

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite qui tend vers une limite $\ell$ (dans $\mathbb{R}$). Quelle est la limite de la suite $(|u_n|)_{n \in \mathbb{N}}$ ?

Si $\lim_{n \rightarrow \infty}|u_n|=\ell$, est-ce que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tend aussi vers une limite? Si oui, que peut être cette limite? Le démontrer.

Exercice 3:

Soit $u_0 = x \in \mathbb{R}$ et $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=u_n + u_n^2$.

Etudier le comportement en l'infini de $u$ selon la valeur du réel $x$.

Exercice 4:

Soit une suite $(a_n)_n$ vérifiant pour tout entier $n : 0 \le a_n \le 1$.

On considère la suite : $u_0 = 0$; $u_{n+1}=u_n + \frac{a_n}{2^{n+1}}$.

1. Démontrer par récurrence que la suite $(u_n)_n$ vérifie pour tout entier $n \ge 1 : u_n \le 1- \frac{1}{2^n}$.
2. Indiquer la monotonie de cette suite, et en déduire que $(u_n)_n$ converge vers un réel $u \le 3$.
3. Soit $v_n = \frac{1}{n} \sum^{n}_{p=1}u_p$, montrer que $(v_n)_n$ est monotone convergente et en donner sa limite.

Exercice 5:

On considère la suite de terme général

$$ u_n = 1- \frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{6!}+\ldots+\frac{(-1)^n}{(2n)!},n \ge 0 $$.

1. Montrer que les suites extraites $(u_{2n})_{n \ge 0}$ et $(u_{2n+1})_{n \ge 0}$ sont des suites adjacentes.
2. En déduire que la suite $(u_n)_{n \ge 0}$ est convergente.

Exercice 6:

1. Déterminer les limites des 3 suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}, (v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(w_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définies par $$ u_n = \frac{sin(n)}{n}, v_n = \frac{1}{\sqrt{n^2 +2} - n}, w_n =\frac{n^3 - n^2}{n^3}$$.
2. On considère une suite $(x_n)_{n \in \mathbb{n}}$.

• Quand dit-on que la suite $(x_n)_{n \in \mathbb{n}}$ converge vers $\ell$?
• Quand dit-on que la suite $(x_n)_{n \in \mathbb{n}}$ tend vers $-\infty$?

     3.  On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 =1$ et si $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \ln(u_n +3)$.

• Etudier le sens de variation de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
• Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est majoré par $2$.
• Conclure quant à la convergence de la suite.
• Si la suite est convergente et si on note $\ell$ sa limite, encadrer $\ell$ entre $2$ entiers.

Exercice 7:

Calculer les limites des suites suivantes.

1. $u_n = (\sqrt{n^2 +1}-n)cos(n)$.
2. $v_n = \frac{\sqrt{n}+sin(n)}{n+\sqrt{n}}$.