Énoncé: Exercice 1: On considère que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 =3$ et $u_{n+1}=\frac{2+3u_n}{2+u_n}$. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel, $n$, $u_n >0$. Montrer par récurrence que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante. Exercice 2: Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite qui tend vers une limite $\ell$ (dans $\mathbb{R}$). Quelle est la limite de la suite $(|u_n|)_{n \in \mathbb{N}}$ ? Si $\lim_{n \rightarrow \infty}|u_n|=\ell$, est-ce que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tend aussi vers une limite? Si oui, que peut être cette limite? Le démontrer. Exercice 3: Soit $u_0 = x \in \mathbb{R}$ et $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=u_n + u_n^2$. Etudier le comportement en l'infini de $u$ selon la valeur du réel $x$. Exercice 4: Soit une suite $(a_n)_n$ vérifiant pour tout entier $n : 0 \le a_n \le 1$. On considère la suite : $u_0 = 0$; $u_{n+1}=u_n + \frac{a_n}{2^{n+1}}...