Les Mathématiques pour CPGE

Énoncé: Exercice 1: Résoudre $E(2x - 1) = E(x-4)$ dans $\mathbb{R}$. Exercice 2: Etudier $\lim_{\infty}[u_n]$ si $\lim_{\infty}u_n = \ell$. Exercice 3: Calculer $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}([x] + [2x] + \ldots +[nx])$. Exercice 4: Soient $x$ un réel, et $n$ un entier naturel non nul. On note $t \mapsto [t]$ l'opérateur "partie entière". Montrer que pour tout entier relatif $k$, $\left[ \frac{x+k}{n} \right] = \left[ \frac{[x] + k}{n} \right]$. Montrer que $\sum_{k=0}^{n-1} \left[\frac{x+k}{n} \right] = [x]$. Corrigé: Exercice 1: Posons $k = [x]$. On a $k \le x \le k+1$. Si $k \le x < k + \frac{1}{2}$ alors $2k \le 2x \le 2k+1$ et $[2x]=2k$.           L'équation équivaut alors à $2k-1 = k-4$, c'est-à-dire $k=-3$.           On obtient ainsi les solutions $x \in [-3 , -\frac{5}{2}[$. Si $k + \frac{1}{2} \le x <k+1$ alors $2k+1 \le 2x < 2k+2$ et $[2x]=2k+1$.    ...

Énoncé: Exercice 1: Montrer que $\sqrt[3]{45 + 29 \sqrt{2}}+\sqrt[3]{45 - 29 \sqrt{2}}$ est un entier. Exercice 2: Soient $m$ et $n$ des entiers naturels. Montrer que si $n$ n'est pas un carré parfait, alors $\sqrt{n}$ est irrationnel. Montrer que si $m$ et $n$ ne sont pas des carrés, alors $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ n'est pas rationnel. Exercice 3: Montrer que pour tous $a, b$ dans $\mathbb{Q}$, $a + b \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow a = b = 0$. Montrer que : $\forall (a,b,c) \in \mathbb{Q}^{3}, a \sqrt{2} + b \sqrt{3} + c \sqrt{5} = 0 \Leftrightarrow a = b = c = 0$. Exercice 4: Montrer que $\sqrt[3]{5} + \sqrt{2}$ est un irrationnel. Corrigé: Exercice 1: Posons $ a = \sqrt[3]{45 + 29 \sqrt{2}}, b = \sqrt[3]{45 - 29 \sqrt{2}}$ et $ x = a + b$. On constate que $a^3 + b^3 = 90$. D'autre part, $ab = \sqrt[3]{45^2 + 2 . 29^2} = \sqrt[3]{343} = 7$. Ainsi $90 = (a +b)(a^2 - ab + b^2) = (a + b)((a + b)^2 - 3ab) = x(x^2 -21)$. Le réel $x$ e...