Parties d'un Ensemble

Énoncé:

Exercice 1:

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Quelle relation y-a-t-il :

1. Entre $\mathcal{P}(E \cup F)$ et $\mathcal{P}(E) \cup \mathcal{P}(F)$ ?
2. Entre $\mathcal{P}(E \cap F)$ et $\mathcal{P}(E) \cap \mathcal{P}(F)$ ?
3. Entre $\mathcal{P}(E \times F)$ et $\mathcal{P}(E) \times \mathcal{P}(F)$ ?

Exercice 2:

Soit $E$ un ensemble non vide. Soit $\mathcal{F}$ une partie non vide de $\mathcal{P}(E)$.

On dit que $\mathcal{F}$ est un filtre si :

1. Que pourrait-on dire d'une famille non vide $\mathcal{F}$ de $\mathcal{P}(E)$ ne vérifiant que $(a)$ et $(b)$ ?
2. $\mathcal{P}$ est-il un filtre sur $E$ ? A quelle condition $\mathcal{P}(E)-\{\emptyset \}$ est-il un filtre sur $E$ ?
3. Montrer que si $\mathcal{F}$ est un filtre sur $E$, alors $E \in \mathcal{F}$.
4. Soit $A$ une partie non vide de $E$. Montrer que $\mathcal{F}_A = \{ X \subset E, A \subset X \}$ est un filtre sur $E$.

Exercice 3:

Soient $(A_i)_{i \in I}$ et $(B_i)_{i \in I}$ deux familles de parties d'un ensemble $E$.

On suppose que pour tout indice $i$ de $I$, on a $E = A_i \cup B_i$.

Montrer que $E = F$, avec $F = \left( \bigcup_{i \in I} A_i \right) \bigcup \left( \bigcap_{i \in I} B_i \right)$.

Solution:

Exercice 1:

1. Si $A$ est une partie de $E$, c'est une partie de $E \cup F$. Donc $\mathcal{P}(E) \subset \mathcal{P}(E \cup F)$.

          Par symétrie $\mathcal{P}(F) \subset \mathcal{P}(E \cup F)$. On en déduit $\mathcal{P}(E) \cup     \mathcal{P}(F) \subset \mathcal{P}(E \cup F)$.

          Si aucun des deux ensembles $E$ ou $F$ ne contient l'autre, alors l'inclusion réciproque est fausse car $E \cup F$ est une partie de $E \cup F$ sans être ni une partie de $E$ ni une partie de $F$.

          Si $E \subset F$ par exemple, on a $\mathcal{P}(E) \subset \mathcal{F}$ et donc $\mathcal{P}(E) \cup \mathcal{P}(F) = \mathcal{P}(F) = \mathcal{P}(E \cup F)$.

          Conclusion:

          On a toujours $\mathcal{P}(E) \cup \mathcal{P}(F) \subset \mathcal{P}(E \cup F)$. Ce n'est une égalité que si $E \subset F$ ou $F \subset E$.

     2.  Un ensemble est une partie de $E \cap F$ si et seulement si c'est à la fois une partie de $E$ et une partie de $F$.

          Autrement dit, on a l'égalité $\mathcal{P}(E \cap F) = \mathcal{P}(E) \cap \mathcal{P}(F)$.

     3. Les éléments de $\mathcal{P}(E) \times \mathcal{P}(F)$ sont les couples $(A,B)$, où $A \subset E$ et $B \subset F$.

         Les éléments de $\mathcal{P}(E \times F)$ sont les sous-ensembles de $E \times F$.

         Il n'y a pas d'inclusion entre $\mathcal{P}(E \times F)$ et $\mathcal{P}(E) \times \mathcal{P}(F)$.

         Cependant, si on note $G = \{ X \times Y, X \subset E, Y \subset F \}$, alors l'application $(X,Y) \mapsto X \times Y$ est une bijection de $\mathcal{P}(E) \times \mathcal{P}(F)$ sur $G$, et $G \subset \mathcal{P}(E \times F)$.

Exercice 2:

1. Si \mathcal{F} vérifie $(a)$ et $(b)$, et si $\emptyset$ est un élément de $\mathcal{F}$, toute partie $Y$ de $E$ est dans $\mathcal{F}$ (utiliser $(b)$ avec $X = \emptyset$.) La seule possibilité est donc $\mathcal{F} = \mathcal{P}(E)$.
2. \mathcal{P}(E) n'est pas un filtre sur $E$, à cause de la propriété $(c)$.

          Posons $\mathcal{F} = \mathcal{P}(E) - \{ \emptyset \}$. $\mathcal{F}$ est donc l'ensemble des parties non vides de $E$.

          Supposons que $E$ contienne au moins deux éléments distincts $a$ et $b$.

          Alors $X = \{a\}$ et $Y = \{b\}$ sont deux éléments de $\mathcal{F}.

          Mais pour eux l'hypothèse $(a)$ n'est plus vérifiée.

          Il est donc nécessaire que $E$ (qui est non vide) se réduise à un seul élément $x$.

          Réciproquement, si $E = \{x\}$, alors $\mathcal{F} = \mathcal{P}(E) - \{ \emptyset \} = \{ \{ x \} \}$ est un filtre (il se réduit au seul élément $X = \{x\}$).

    3.   C'est une conséquence du fait que $\mathcal{F}$ est non vide (on peut donc choisir un élément $X$ dans $\mathcal{F}$) et de la propriété $(b)$ en choisissant $Y = E$.

    4.   $\mathcal{F}_A$ est non vide car $A$ en est un élément.

          Soient $X, Y$ deux élément de $\mathcal{F}_A$ (donc deux parties de $E$ contenant $A$). Alors $X \cap Y$ est une partie de $E$ contenant $A$, c'est-à-dire $X \cap Y \in \mathcal{F}_A$.

          Soit $X$ un élément de $\mathcal{F}_A$ et $Y$ une partie de $E$ contenant $X$.

          Alors évidement $Y$ contient $A$ ce qui prouve l'hypothèse $(b)$.

          Enfin $\emptyset$ n'est pas un élément de $\mathcal{F}_A$ puisque par hypothèse $A$ est non vide.

          $\mathcal{F}_A$ est donc un filtre sur $E$.

Exercice 3:

Posons $F = \left( \bigcup_{i \in I} A_i \right) \bigcup \left( \bigcap_{i \in I} B_i \right)$. On a bien entendu $F \subset E$.

Réciproquement, soit $x$ un élément de $E$.

• Si $x$ appartient à $\bigcap_{i \in I} B_i$, alors $x$ appartient à $F$.
• Sinon, donc s'il existe au moins un $i$ tel que $x \notin B_i$, alors l'égalité $E = A_i \cup B_i$ montre que $x$ est un élément de $A_i$, et donc qu'il appartient $\bigcup_{i \in I} A_i$. Ainsi $x$ est encore élément de $F$.

Conclusion : on a bien l'égalité $E = \left( \bigcup_{i \in I} A_i \right) \bigcup \left( \bigcap_{i \in I} B_i \right)$.