UNION, INTERSECTION, DIFFÉRENCE SYMÉTRIQUE
Énoncés des exercices
EXERClCE 1
Que dire de deux sous-ensembles \(A\) et \(B\) de \(E\) tels que \(A \cup B = A \cap B\)?
EXERClCE 2
Soient \(A,\) \(B,\) \(C\) trois ensembles.
A quoi équivaut l’égalité \(A \cup B = A \cap B\)?
EXERClCE 3
Soient \(A,\) \(B,\) \(C\) trois ensembles.
Montrer que \[\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
A\cup B\subset A\cup C \\
{} \\
A\cap B\subset A\cap C \\
\end{array} \right.\Rightarrow B\subset C.\]
EXERClCE 4
Soient \(A,\) \(B,\) \(C\) trois ensembles.
Montrer que $\left( A~\cup B \right)\cap \left( B\cup C \right)\cap \left( C\cup A \right)=\left( A\cap B \right)\cup \left( B\cap C \right)U\left( C\cap A \right)$ .
EXERClCE 5
Pour toutes parties \(A\) et \(B\) d’un ensemble \(E\), on pose \(A\Delta B = \left( {AUB} \right)\backslash \left( {A \cap B} \right)\) .
\(A\Delta B\) est appelé différence symétrique de \(A\) et de \(B.\)
1. Montrer qu’une définition équivalente est : \(A\Delta B = \left( {A \cap \bar B} \right) \cup \left( {\bar A \cap B} \right)\) .
2. Vérifier que \(A\Delta B = B\Delta A,\) \(\overline {A\Delta B} = \bar A\Delta B = A\Delta \bar B\), et \(\bar A\Delta \bar B = A\Delta B.\)
3. Calculer \(A\Delta \emptyset ,\) \(A\Delta A\) et \(A\Delta E.\)
On désigne par \(A,\) \(B\) et \(C\) trois parties de \(E.\)
4. Montrer que \(A \cap \left( {B\Delta C} \right) = \left( {A \cap B} \right)\Delta \left( {A \cap C} \right)\).
5. Vérifier également que \(A\Delta \left( {B\Delta C} \right) = \left( {A\Delta B} \right)\Delta C.\)
6. Quel signifie alors \({A_1}\Delta {A_2}\Delta \cdots \Delta {A_n}\), si \({A_1},\) \({A_2},\) \( \ldots ,\) \({A_n}\) sont \(n\) parties de \(E,\) avec \(n \ge 2\)?
Corrigés des exercices
EXERClCE 1
On a toujours les inclusions \(A \cap B \subset A\) et \(A \subset A \cup B.\)
L’hypothèse de l’énoncé implique donc \(A = A \cap B = A \cup B.\)
De même, par symétrie, \(B = A \cap B = A \cup B\). On en déduit \(A = B\) (réciproque immédiate).
EXERClCE 2
Dans le sens \( \Leftarrow \): si \(B \subset A \subset C\) alors A \(A \cup B = A = A \cap C.\)
Réciproquement, on suppose que \(A \cup B = A \cap C.\)
On a toujours \(B \subset A \cup B\) et \(A \cap C \subset A\). L’hypothèse implique donc \(B \subset A.\) De même, les implications \(A \subset A \cup B\) et \(A \cap C \subset C\) impliquent ici \(A \subset C.\)
EXERClCE 3
Soit \(x\) un élément de \(B\). On doit montrer que \(x\) est dans \(C.\)
Remarque: on peut aussi utiliser les inclusions
Soit \(x = \left( {A \cup B} \right) \cap \left( {B \cup C} \right) \cap \left( {C \cup A} \right)\) .
On ‘’factorise’’ \(B\) dans la première intersection : $\left( A~\cup B \right)\cap \left( B\cup C \right)=B\cup \left( A\cap C \right)$ $\left( A~\cap C \right)$. Ainsi: $X=\left[ B \cap ~\left( A~\cap C \right) \right]\cap \left( C\cup A \right)=\left[ B\cap \left( C\cup A \right) \right]\cup \left[ \left( A\cap C \right)\cap \left( C\cup A \right) \right].$
Mais $\left( A~\cap C \right)\cap \left( C\cup A \right)$ se réduit à $\left( A~\cap C \right)$ car $\left( A~\cap C \right)\subset \left( A\cup C \right)$. On en déduit : \(X\) \(\begin{array}{l}X = \left[ {B \cap \left( {C \cup A} \right)} \right] \cup \left( {A \cap C} \right) = \left[ {\left( {B \cap C} \right) \cup \left( {B \cap A} \right)} \right] \cup \left( {A \cap C} \right)\\{\rm{ }} = \left( {A \cap B} \right) \cup \left( {B \cap C} \right) \cup \left( {C \cap A} \right)\end{array}\)
C’est ce qu’il fallait démontrer.
EXERClCE 5
1. On a les égalités :
$\begin{align}
& A\Delta B~=\left( A\cup B \right)\backslash \left( A\cap B \right)=\left( A\cup B \right)\cap \left( \overline{A\cap B} \right) \\
& \text{ }=\left( A\cup B \right)\cap \left( \bar{A}\cup \bar{B} \right)=\left( A\cap \bar{B} \right)\cup \left( \bar{A}\cap B \right) \\
\end{align}$
2. On a \(A\Delta B = B\Delta A\) car la définition est symétrique par rapport en \(A\) et \(B\). On a :
$\begin{align}
& \bar{A}\Delta B~=\left( \bar{A}\cap \bar{B} \right)\cup \left( \overline{{\bar{A}}}\cap B \right)=\left( \bar{A}\cap \bar{B} \right)\cup \left( A\cap B \right)=\left( A\cup B \right)\cup ~\left( A~\cap B \right) \\
& \text{ }=\overline{\left( A\cup B \right)\cap \left( \overline{A\cap B} \right)}=\overline{A\Delta B} \\
\end{align}$
Par symétrie, on en déduit : \(A\Delta \bar B = \bar B\Delta A = \overline {B\Delta A} = \overline {A\Delta B} .\)
On peut alors écrire: \(\bar A\Delta \bar B = \overline {A\Delta \bar B} = \overline {\overline {A\Delta B} } = A\Delta B.\)
3. - \(A\Delta \emptyset = \left( {A \cup \emptyset } \right)\backslash \left( {A \cap \emptyset } \right) = A\backslash \emptyset = A.\)
- \(A\Delta A = \left( {A \cup A} \right)\backslash \left( {A \cap A} \right) = A\backslash A = \emptyset .\)
- \(A\Delta E = \left( {A \cup E} \right)\backslash \left( {A \cap E} \right) = E\backslash A = \bar A.\)
4. On a les égalités :
$\begin{align}
& \left( A~\cap B \right)\Delta \left( A\cap C \right)~=\left[ \left( A\cap B \right)u\cup \left( A~\cap C \right) \right]\backslash \left[ \left( A\cap B \right)\cap ~\left( A~\cap C \right) \right] \\
& \text{ }=\left[ A\cap \left( B\cup C \right) \right]\backslash \left[ A\cap \left( B\cap C \right) \right] \\
& \text{ }=A\cap \left[ \left( B\cup C \right)\backslash \left( B\cap C \right) \right]=A\cap \left( B\Delta C \right) \\
\end{align}$
5. Tout d’abord, par définition :
\(A\Delta \left( {B\Delta C} \right) = X \cup Y,\) avec \(X = \bar A \cap \left( {B\Delta C} \right)\) et \(Y = A \cap \left( {\overline {B\Delta C} } \right)\) .
Or \(X = \bar A \cap \left[ {\left( {\bar B \cap C} \right) \cup \left( {B \cap \bar C} \right)} \right] = \left( {\bar A \cap \bar B \cap C} \right) \cup \left( {\bar A \cap B \cap \bar C} \right)\) .
D’autre part (changer \(\bar A\) en \(A\) et \(B\) en \(\bar B\) dans le calcul précédent) :
$Y=A\cap \left( \bar{B}\Delta C \right)=\left( A\cap B\cap C \right)u\cup \left( A~\cap \bar{B}\cap \bar{C} \right)$ .
Ainsi: \(A\Delta \left( {B\Delta C} \right) = \left( {A \cap B \cap C} \right) \cup \left( {\bar A \cap \bar B \cap C} \right) \cup \left( {\bar A \cap B \cap \bar C} \right) \cup \left( {A \cap \bar B \cap \bar C} \right)\).
Enfin on note que \(\left( {A\Delta B} \right)\Delta C = C\Delta \left( {A\Delta B} \right) = C\Delta \left( {B\Delta A} \right)\) .
Pour obtenir \(\left( {A\Delta B} \right)\Delta C\) il suffit d’échanger \(A\) et \(C\) dans l’expression de \(A\Delta \left( {B\Delta C} \right)\) . On voit que cette expression n’est pas modifiée dans cet échange.
Conclusion : pour toutes parties \(A,\) \(B,\) \(C\) de \(E\), on a \(A\Delta \left( {B\Delta C} \right) = \left( {A\Delta B} \right)\Delta C.\)
Remarque : l’ensemble \(A\Delta \left( {B\Delta C} \right) = \left( {A\Delta B} \right)\Delta C\) est donc formé des éléments de \(E\) qui sont dans l’un et dans l’un seulement des trois ensembles \(A,\) \(B,\) \(C\), ou bien qui sont simultanément dans ces trois ensembles.
6. Les propriétés \(A\Delta B = B\Delta A\) (commutativité) et \(A\Delta \left( {B\Delta C} \right) = \left( {A\Delta B} \right)\Delta C\) (associativité) montrent que la notation \({A_1}\Delta {A_2}\Delta \cdots \Delta {A_n}\) a un sens (et désigne toujours la même partie de \(E\)) quelque soit l’ordre dans lequel on effectue les calculs.
Plus précisément \({A_1}\Delta {A_2}\Delta \cdots \Delta {A_n}\) désigne l’ensemble des éléments de \(E\) qui appartiennent à exactement un nombre impair d’ensembles \({A_k}.\)
Cette propriété est en effet vraie si \(n = 2\) (car \({A_1}\Delta {A_2}\) est l’ensemble des éléments de \(E\) qui sont dans l’un et dans l’un seulement des deux ensembles \({A_1}\) et \({A_2}\)).
C’est vrai aussi si \(n = 3\), comme le montre la question précédente.
Plus généralement, si la propriété est vraie au rang \(n\left( {n \ge 2} \right)\) elle l’est au rang \(n + 1\) grâce à l’égalité \({A_1}\Delta {A_2}\Delta \cdots \Delta {A_n}\Delta {A_{n + 1}} = \left( {{A_1}\Delta {A_2}\Delta \cdots \Delta {A_n}} \right)\Delta {A_{n + 1}}.\)
Énoncés des exercices
EXERClCE 1
Que dire de deux sous-ensembles \(A\) et \(B\) de \(E\) tels que \(A \cup B = A \cap B\)?
EXERClCE 2
Soient \(A,\) \(B,\) \(C\) trois ensembles.
A quoi équivaut l’égalité \(A \cup B = A \cap B\)?
Soient \(A,\) \(B,\) \(C\) trois ensembles.
Montrer que \[\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
A\cup B\subset A\cup C \\
{} \\
A\cap B\subset A\cap C \\
\end{array} \right.\Rightarrow B\subset C.\]
EXERClCE 4
Soient \(A,\) \(B,\) \(C\) trois ensembles.
Montrer que $\left( A~\cup B \right)\cap \left( B\cup C \right)\cap \left( C\cup A \right)=\left( A\cap B \right)\cup \left( B\cap C \right)U\left( C\cap A \right)$ .
EXERClCE 5
Pour toutes parties \(A\) et \(B\) d’un ensemble \(E\), on pose \(A\Delta B = \left( {AUB} \right)\backslash \left( {A \cap B} \right)\) .
\(A\Delta B\) est appelé différence symétrique de \(A\) et de \(B.\)
1. Montrer qu’une définition équivalente est : \(A\Delta B = \left( {A \cap \bar B} \right) \cup \left( {\bar A \cap B} \right)\) .
2. Vérifier que \(A\Delta B = B\Delta A,\) \(\overline {A\Delta B} = \bar A\Delta B = A\Delta \bar B\), et \(\bar A\Delta \bar B = A\Delta B.\)
3. Calculer \(A\Delta \emptyset ,\) \(A\Delta A\) et \(A\Delta E.\)
On désigne par \(A,\) \(B\) et \(C\) trois parties de \(E.\)
4. Montrer que \(A \cap \left( {B\Delta C} \right) = \left( {A \cap B} \right)\Delta \left( {A \cap C} \right)\).
5. Vérifier également que \(A\Delta \left( {B\Delta C} \right) = \left( {A\Delta B} \right)\Delta C.\)
6. Quel signifie alors \({A_1}\Delta {A_2}\Delta \cdots \Delta {A_n}\), si \({A_1},\) \({A_2},\) \( \ldots ,\) \({A_n}\) sont \(n\) parties de \(E,\) avec \(n \ge 2\)?
EXERClCE 1
On a toujours les inclusions \(A \cap B \subset A\) et \(A \subset A \cup B.\)
L’hypothèse de l’énoncé implique donc \(A = A \cap B = A \cup B.\)
De même, par symétrie, \(B = A \cap B = A \cup B\). On en déduit \(A = B\) (réciproque immédiate).
EXERClCE 2
Dans le sens \( \Leftarrow \): si \(B \subset A \subset C\) alors A \(A \cup B = A = A \cap C.\)
Réciproquement, on suppose que \(A \cup B = A \cap C.\)
On a toujours \(B \subset A \cup B\) et \(A \cap C \subset A\). L’hypothèse implique donc \(B \subset A.\) De même, les implications \(A \subset A \cup B\) et \(A \cap C \subset C\) impliquent ici \(A \subset C.\)
Soit \(x\) un élément de \(B\). On doit montrer que \(x\) est dans \(C.\)
- Si \(x\) est dans \(A\), alors il est dans \(A \cap B\) donc dans\(A \cap C\) donc dans \(C.\)
- Si \(x\) n’est pas dans \(A\), il est tout de même dans \(A \cup B\) donc dans \(A \cup C.\) Ainsi \(x\) est dans \(A \cup C\) mais pas dans \(A\). Il est donc dans \(C.\)
Remarque: on peut aussi utiliser les inclusions
- \(B = B \cap \left( {A \cup B} \right) \subset B \cap \left( {A \cup C} \right)\) et
- $B\cap \left( A~\cup C \right)=\left( B\cap A \right)\cup \left( B\cap C \right)\subset \left( A\cap C \right)\cup \left( B\cap C \right)$ puis
- $\left( A~\cap C \right)\cup \left( B\cap C \right)=C\cap \left( A\cup B \right)\subset C$
Soit \(x = \left( {A \cup B} \right) \cap \left( {B \cup C} \right) \cap \left( {C \cup A} \right)\) .
On ‘’factorise’’ \(B\) dans la première intersection : $\left( A~\cup B \right)\cap \left( B\cup C \right)=B\cup \left( A\cap C \right)$ $\left( A~\cap C \right)$. Ainsi: $X=\left[ B \cap ~\left( A~\cap C \right) \right]\cap \left( C\cup A \right)=\left[ B\cap \left( C\cup A \right) \right]\cup \left[ \left( A\cap C \right)\cap \left( C\cup A \right) \right].$
Mais $\left( A~\cap C \right)\cap \left( C\cup A \right)$ se réduit à $\left( A~\cap C \right)$ car $\left( A~\cap C \right)\subset \left( A\cup C \right)$. On en déduit : \(X\) \(\begin{array}{l}X = \left[ {B \cap \left( {C \cup A} \right)} \right] \cup \left( {A \cap C} \right) = \left[ {\left( {B \cap C} \right) \cup \left( {B \cap A} \right)} \right] \cup \left( {A \cap C} \right)\\{\rm{ }} = \left( {A \cap B} \right) \cup \left( {B \cap C} \right) \cup \left( {C \cap A} \right)\end{array}\)
C’est ce qu’il fallait démontrer.
1. On a les égalités :
$\begin{align}
& A\Delta B~=\left( A\cup B \right)\backslash \left( A\cap B \right)=\left( A\cup B \right)\cap \left( \overline{A\cap B} \right) \\
& \text{ }=\left( A\cup B \right)\cap \left( \bar{A}\cup \bar{B} \right)=\left( A\cap \bar{B} \right)\cup \left( \bar{A}\cap B \right) \\
\end{align}$
2. On a \(A\Delta B = B\Delta A\) car la définition est symétrique par rapport en \(A\) et \(B\). On a :
$\begin{align}
& \bar{A}\Delta B~=\left( \bar{A}\cap \bar{B} \right)\cup \left( \overline{{\bar{A}}}\cap B \right)=\left( \bar{A}\cap \bar{B} \right)\cup \left( A\cap B \right)=\left( A\cup B \right)\cup ~\left( A~\cap B \right) \\
& \text{ }=\overline{\left( A\cup B \right)\cap \left( \overline{A\cap B} \right)}=\overline{A\Delta B} \\
\end{align}$
Par symétrie, on en déduit : \(A\Delta \bar B = \bar B\Delta A = \overline {B\Delta A} = \overline {A\Delta B} .\)
On peut alors écrire: \(\bar A\Delta \bar B = \overline {A\Delta \bar B} = \overline {\overline {A\Delta B} } = A\Delta B.\)
3. - \(A\Delta \emptyset = \left( {A \cup \emptyset } \right)\backslash \left( {A \cap \emptyset } \right) = A\backslash \emptyset = A.\)
- \(A\Delta A = \left( {A \cup A} \right)\backslash \left( {A \cap A} \right) = A\backslash A = \emptyset .\)
- \(A\Delta E = \left( {A \cup E} \right)\backslash \left( {A \cap E} \right) = E\backslash A = \bar A.\)
4. On a les égalités :
$\begin{align}
& \left( A~\cap B \right)\Delta \left( A\cap C \right)~=\left[ \left( A\cap B \right)u\cup \left( A~\cap C \right) \right]\backslash \left[ \left( A\cap B \right)\cap ~\left( A~\cap C \right) \right] \\
& \text{ }=\left[ A\cap \left( B\cup C \right) \right]\backslash \left[ A\cap \left( B\cap C \right) \right] \\
& \text{ }=A\cap \left[ \left( B\cup C \right)\backslash \left( B\cap C \right) \right]=A\cap \left( B\Delta C \right) \\
\end{align}$
5. Tout d’abord, par définition :
\(A\Delta \left( {B\Delta C} \right) = X \cup Y,\) avec \(X = \bar A \cap \left( {B\Delta C} \right)\) et \(Y = A \cap \left( {\overline {B\Delta C} } \right)\) .
Or \(X = \bar A \cap \left[ {\left( {\bar B \cap C} \right) \cup \left( {B \cap \bar C} \right)} \right] = \left( {\bar A \cap \bar B \cap C} \right) \cup \left( {\bar A \cap B \cap \bar C} \right)\) .
D’autre part (changer \(\bar A\) en \(A\) et \(B\) en \(\bar B\) dans le calcul précédent) :
$Y=A\cap \left( \bar{B}\Delta C \right)=\left( A\cap B\cap C \right)u\cup \left( A~\cap \bar{B}\cap \bar{C} \right)$ .
Ainsi: \(A\Delta \left( {B\Delta C} \right) = \left( {A \cap B \cap C} \right) \cup \left( {\bar A \cap \bar B \cap C} \right) \cup \left( {\bar A \cap B \cap \bar C} \right) \cup \left( {A \cap \bar B \cap \bar C} \right)\).
Enfin on note que \(\left( {A\Delta B} \right)\Delta C = C\Delta \left( {A\Delta B} \right) = C\Delta \left( {B\Delta A} \right)\) .
Pour obtenir \(\left( {A\Delta B} \right)\Delta C\) il suffit d’échanger \(A\) et \(C\) dans l’expression de \(A\Delta \left( {B\Delta C} \right)\) . On voit que cette expression n’est pas modifiée dans cet échange.
Conclusion : pour toutes parties \(A,\) \(B,\) \(C\) de \(E\), on a \(A\Delta \left( {B\Delta C} \right) = \left( {A\Delta B} \right)\Delta C.\)
Remarque : l’ensemble \(A\Delta \left( {B\Delta C} \right) = \left( {A\Delta B} \right)\Delta C\) est donc formé des éléments de \(E\) qui sont dans l’un et dans l’un seulement des trois ensembles \(A,\) \(B,\) \(C\), ou bien qui sont simultanément dans ces trois ensembles.
Plus précisément \({A_1}\Delta {A_2}\Delta \cdots \Delta {A_n}\) désigne l’ensemble des éléments de \(E\) qui appartiennent à exactement un nombre impair d’ensembles \({A_k}.\)
Cette propriété est en effet vraie si \(n = 2\) (car \({A_1}\Delta {A_2}\) est l’ensemble des éléments de \(E\) qui sont dans l’un et dans l’un seulement des deux ensembles \({A_1}\) et \({A_2}\)).
C’est vrai aussi si \(n = 3\), comme le montre la question précédente.
Plus généralement, si la propriété est vraie au rang \(n\left( {n \ge 2} \right)\) elle l’est au rang \(n + 1\) grâce à l’égalité \({A_1}\Delta {A_2}\Delta \cdots \Delta {A_n}\Delta {A_{n + 1}} = \left( {{A_1}\Delta {A_2}\Delta \cdots \Delta {A_n}} \right)\Delta {A_{n + 1}}.\)
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