Les Mathématiques pour CPGE

Énoncé: Exercice 1: Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite de réels strictement positifs. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $$ u_n = \sqrt{a_1 + \sqrt{a_2 + \ldots +\sqrt{a_n}}} \ (radicaux \ itérés) $$. Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante. Dans cette équation, on suppose que $\forall n \in \mathbb{N}^* \ a_n = 1$. Établir alors une ralation simple entre $u_n$ et $u_{n+1}$. En déduire que $(u_n)$ converge et préciser sa limite. Soit $\lambda \in \mathbb{R}^*_+$ fixé. Dans cette question, on suppose que $$ \forall n \in \mathbb{N}^* \ a_n = \lambda^{2^n}$$. Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite. Soient $(a_n)$ et $(a'_n)$ deux suites à termes strictement positifs, soient $(u_n)$ et $(u'_n)$ les suites associées. Montrer que $$( \forall n \in \mathbb{N}^* \ a_n \le a'_n) \Rightarrow (( \forall n \in \mathbb{N}^* \ u_n \le u'_n) $$ . Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente si, et seulement si, la suite $(2...

Énoncé: Exercice 1: Montrer que toute suite convergente est bornée. Exercice 2: Montrer qu'une suite d'entiers qui converge est stationnaire à partir d'un certain rang. Exercice 3: Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par  $$ u_n =(-1)^n +\frac{1}{n}$$ n'est pas convergente. Exercice 4: Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de $\mathbb{R}$. Que pensez-vous des propositions suivantes: Si $(u_n)_n$ converge vers un réel $\ell$ alors $(u_{2n})_n$ et $(u_{2n+1})_n$ converge vers $\ell$. Si $(u_{2n})_n$ et $(u_{2n+1})_n$ sont convergentes, il en est de même de $(u_n)_n$. Si $(u_{2n})_n$ et $(u_{2n+1})_n$ sont convergentes, de même limite $\ell$, il est de même de $(u_n)_n$. Exercice 5: Soit $q$ un entier au moins égal à $2$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $u_n = cos \frac{2n \pi}{q}$. Montrer que $u_{n+q}=u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Calculer $u_{nq}$ et $u_{nq+1}$....

Énoncé: Exercice 1: On considère que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 =3$ et $u_{n+1}=\frac{2+3u_n}{2+u_n}$. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel, $n$, $u_n >0$. Montrer par récurrence que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante. Exercice 2: Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite qui tend vers une limite $\ell$ (dans $\mathbb{R}$). Quelle est la limite de la suite $(|u_n|)_{n \in \mathbb{N}}$ ? Si $\lim_{n \rightarrow \infty}|u_n|=\ell$, est-ce que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tend aussi vers une limite? Si oui, que peut être cette limite? Le démontrer. Exercice 3: Soit $u_0 = x \in \mathbb{R}$ et $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=u_n + u_n^2$. Etudier le comportement en l'infini de $u$ selon la valeur du réel $x$. Exercice 4: Soit une suite $(a_n)_n$ vérifiant pour tout entier $n : 0 \le a_n \le 1$. On considère la suite : $u_0 = 0$; $u_{n+1}=u_n + \frac{a_n}{2^{n+1}}...

Énoncé: Exercice 1: Soit une suite $(u_n)$ telle que, pour tout $n \ge 2$, $(n+1)^2 u_{n+1} - (n-1)^2 u_n +n = 0 (E)$. Montrer qu'il existe un réel $k$ tel que si on pose $v_n = u_n - k$ alors pour tout $n \ge 2$ : $(n+1)^2 v_{n+1} - (n-1)^2 v_n = 0$. En déduire l'expression de $v_n$ puis celle de $u_n$. Que se passe-t-il si la relation $(E)$ est vraie pour $n=1$ ? Exercice 2: Etudier les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par la donnée du couple ($u_0 > 0, v_0 >0$) et par les relations de récurrence $u_{n+1} = \frac{u_{n}^{2}}{u_n + v_n}$ et $v_{n+1} = \frac{v_{n}^{2}}{u_n + v_n}$. Exercice 3: Etudier la suite $(u_n)$ définie par la relation $u_{n+1} = 1 - \frac{1}{u_n}$. Exercice 4: Etudier la suite $(u_n)$ définie par la relation $u_{n+1}=\sqrt{2u_n + 35}$. Exercice 5: Etudier la suite $(u_n)$ définie par la relation $u_{n+1} = \sqrt{12 - u_n}$. Corrigé: Exercice 1: Si on pose $v_n = u_n - k$ alors:        ...

Énoncé: Exercice 1: Soit $(u_n)$ une suite bornée telle que : $\forall n \ge 1, 2u_n \le u_{n-1}+u_{n+1}$. Montrer que cette suite est convergente. Exercice 2: Montrer que la suite de terme général $u_n = \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots + \frac{1}{kn}$ (où $k$ est un entier donné supérieur ou égal à $2$) est convergente. Exercice 3: On considère la suite de terme général $u_n = \sqrt{1+\sqrt{2 + \sqrt{\ldots +\sqrt{n}}}}$. Montrer que pour tout $n, u_{n+1}^2 \le 1 +\sqrt{2} u_n$. La suite $(u_n)$ est-elle convergente? Exercice 4: On se donne une suite réelle $(u_n)$ et on pose $v_n = \frac{1}{n}(u_1 +u_2 +\ldots + u_n )$. Montrer que si $\lim_{\infty} u_n = \ell$ alors $\lim_{\infty} v_n = \ell$. Vérifier sur un exemple que la réciproque est fausse. Montrer que si la suite $(u_n)$ est monotone, alors la réciproque est vraie. Exercice 5: Soit $p_n$ la probabilité d'obtenir exactement $n$ fois pile en $2n$ lancers d'une pièce équilib...

Énoncé: Exercice 1: Soit $(u_n)$ une suite dont les suites extraites $(a_n = u_{2n})$ et $(b_n = u_{3n})$ convergent respectivement vers $\ell$ et $\ell '$. Montrer que $\ell = \ell '$. Exercice 2: On se donne une suite réelle $(u_n)$. On suppose que les suites $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{3n})$ sont convergentes. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente. Exercice 3: Soit $(u_n)$ une suite bornée ne possédant qu'une seule valeur d'adhérence. Montrer que cette suite est convergente. Exercice 4: Soit $(u_n)$ une suite telle que $\lim_{\infty} (u_{n+1}-u_n) = 0$. Prouver que l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)$ est vide ou est un intervalle fermé. Donner un exemple représentatif de cette deuxième éventualité. Corrigé: Exercice 1: Pour tout entier $n$, posons $c_n = u_{6n}$. On a $c_n = a_{3n}$. La suite $(c_n)$ est donc extraite de la suite $(a_n)$.          On en déduit que la suite $(c_n)$ est conve...

Énoncé: Exercice 1: Montrer que les suites de terme général $u_n  = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$ et $v_n = u_n + \frac{1}{n(n!)}$ sont adjacentes. Montrer que les limites communes est irrationnelle. Exercice 2: Trouver la condition sur les réels $u_0$, $v_0$, $\lambda \ge 0$ et $\mu \ge 0$ pour que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par récurrences $u_{n+1} = \frac{u_n + \lambda v_n}{1 + \lambda}$ et $v_{n+1} = \frac{v_n + \mu v_n}{1 + \mu}$ sont adjacentes. Dans le cas général, les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont-elles convergentes, et vers quelle limite? Exercice 3: Montrer que la suite de terme général $u_n = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \ldots + (-1)^n \frac{1}{n!}$ est convergente et que sa limite est un irrationnel. Exercice 4: Etudier les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par la donnée du couple $(u_0 = a, v_0 = b >0)$ et par les relations $u_{n+1} = \sqrt{u_n v_n}$ et $v_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2}$. Exercice 5: Soient $a$ e...