Suites Adjacentes

Énoncé:

Exercice 1:

Montrer que les suites de terme général $u_n  = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$ et $v_n = u_n + \frac{1}{n(n!)}$ sont adjacentes.

Montrer que les limites communes est irrationnelle.

Exercice 2:

Trouver la condition sur les réels $u_0$, $v_0$, $\lambda \ge 0$ et $\mu \ge 0$ pour que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par récurrences $u_{n+1} = \frac{u_n + \lambda v_n}{1 + \lambda}$ et $v_{n+1} = \frac{v_n + \mu v_n}{1 + \mu}$ sont adjacentes.

Dans le cas général, les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont-elles convergentes, et vers quelle limite?

Exercice 3:

Montrer que la suite de terme général $u_n = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \ldots + (-1)^n \frac{1}{n!}$ est convergente et que sa limite est un irrationnel.

Exercice 4:

Etudier les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par la donnée du couple $(u_0 = a, v_0 = b >0)$ et par les relations $u_{n+1} = \sqrt{u_n v_n}$ et $v_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2}$.

Exercice 5:

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.

On pose $u_0 = a$, $v_0 = b$, et pour tout $n$, $\frac{n}{u_{n+1}} = \frac{1}{u_n} + \frac{1}{v_n}$ et $v_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2}$.

Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

Corrigé:

Exercice 1:

• La suite $(u_n)$ est croissante car $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0$.
• La suite $(v_n)$ est décroissante car : 

• Enfin $\lim_{n \to +\infty} v_n - u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n(n!)} = 0$.
• Les trois propriétés précédentes prouvent que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

          Elles sont donc convergentes et ont une même limite $\ell$.

• On peut prouver que $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} v_n = e$.
• Pour tout entier $n$, on a $u_n < \ell < v_n$.

          On en déduit l'encadrement : $n(n!)u_n<n(n!)\ell <n(n!) v_n$.

          Mais $N=n(n!)u_n$ est un entier et $n(n!)u_n = N+1$.

          Cela prouve que $n(n!)\ell$ n'est jamais un entier, quelque soit $n$.

          Il en découle que $\ell$ est irrationnel (par l'absurde, considérer $n$ égal au dénominateur de $\ell$).

Exercice 2:

• Comme $\lambda \ge 0$ et $\mu \ge 0$, on voit que $u_n$ et $v_n$ sont définis pour $n \ge 0$.
• Pour tout entier naturel $n$, on a:

                     $v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{u_n + \mu v_n}{1+\mu} - \frac{u_n + \lambda v_n}{1 + \lambda} = \frac{(\mu - \lambda)(v_n - u_n)}{(1+\mu)(1+\lambda)}$

         La suite de terme général $v_n - u_n$ est donc géométrique de raison $q=\frac{\mu - \lambda}{(1+\mu)(1+\lambda)}$.

         On en déduit, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $v_n - u_n = q^n (v_0 -u_0)$.

• On remarque que $|q| \le \frac{\mu + \lambda}{(1+\mu)(1+\lambda)} < 1$.

          On en déduit $\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = 0$.

• Pour tout entier naturel $n$, on a:

$u_{n+1}-u_n = \frac{u_n + \lambda v_n}{1+\lambda}-u_n = \frac{\lambda}{1+ \lambda}(v_n - u_n) = \frac{\lambda}{1+ \lambda} q^n (v_0 - u_0)$

          De même:

$v_{n+1}-v_n = \frac{u_n + \mu v_n}{1+\mu}-v_n = \frac{v_n - u_n}{1+ \mu} = \frac{-1}{1+ \mu} q^n (v_0 - u_0)$

• On constate que si $u_0 = v_0 = a$, alors pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_n = v_n = a$.

          On peut dire dans ce cas que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

          Supposons maintenant $u_0 \ne v_0$.

          Pour que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ soient adjacentes, il faut et il suffit que l'une soit croissante, l'autre décroissante, car on sait déjà que $\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = 0$.

         Ces conditions de monotonie équivaut à $q \ge 0$, c'est-à-dire $\mu \ge \lambda$.

• Conclusion : les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes $\Leftrightarrow \mu \ge \lambda$ ou $u_0 = v_0$.
• Remarque:

          Dans tous les cas, on a :

$u_n = u_0 + \sum_{k=0}^{n-1}(u_{k+1}-u_k)=u_0 + \frac{\lambda (v_0 - u_0)}{1 +\lambda} \sum_{k=0}^{n-1}q^k = u_0 + \frac{\lambda (v_0 - u_0)}{1 + \lambda} \frac{1-q^n}{1-q}$

          On en déduit :

$\lim_{n \to +\infty} u_n = u_0 + \frac{\lambda (v_0 - u_0)}{(1+\lambda)(1-q)}=u_0 + \frac{\lambda (1+\mu)}{1+2 \lambda + \lambda \mu}(v_0 - u_0)$.

          Finalement :

$\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} v_n = \frac{(1+\lambda)u_0 + \lambda (1+\mu)v_0}{1+2\lambda + \lambda \mu}$.

Exercice 3:

Pour tout entier $n \ge 0$ : $u_{2n+2}-u_{2n} = \frac{1}{(2n+2)!}-\frac{1}{(2n+1)!} < 0$.

De même, pour tout $n \ge 1$, on a : $v_{2n+1}-v_{2n-1} = -\frac{1}{(2n+1)!}+\frac{1}{(2n)!} > 0$.

Enfin $v_{2n+1} - v_{2n} = -\frac{1}{(2n+1)!}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

Tout cela signifie que les suites $(a_n = v_{2n})$ et $(b_n = v_{2n+1})$ sont adjacentes.

Cela implique qu'elles sont convergentes et ont une même limite $\ell$.

Il en découle que la suite $(u_n)$ est elle-même convergente vers $\ell$.

D'autre part, pour tout $n \ge 0$, on a l'encadrement $u_{2n+1} = u_{2n} - \frac{1}{(2n+1)!} < \ell < u_{2n}$.

On multiplie par $(2n+1)! : N-1 < (2n+1)! \ell < N$ où $N=(2n+1)!u_{2n}$ est entier.

Cela prouve que $(2n+1)! \ell$ n'est jamais un entier, ce qui implique que $\ell$ n'est pas rationnel (s'il l'était, choisir $n$ tel que $2n+1$ soit supérieur ou égal au dénominateur de $\ell$).

Remarque : on montre que $\ell = \frac{1}{e}$. On en déduit que $\frac{1}{e}$ et donc $e$ sont irrationnels.

Exercice 4:

Par récurrence évidente, $(u_n)$ et $(v_n)$ sont bien définies et sont à valeurs $>0$.

Pour tout $n \ge 0$, on a : $v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{u_n + v_n}{2} - \sqrt{u_n v_n} = \frac{1}{2}(\sqrt{v_n} - \sqrt{u_n})^2 \ge 0$.

On en déduit que pour tout $n \ge 1$, on a l'inégalité : $u_n \le v_n$.

Dans ces conditions : $\forall n \ge 0, u_{n+1} = \sqrt{u_n v_n} \ge u_n$ et $v_{n+1}=\frac{u_n + v_n}{2} \le v_n$.

La suite $(u_n)$ est donc croissante, et la suite $(v_n)$ décroissante, à partir $n=1$.

En utilisant ce qui précède, on trouve : $\forall n \ge 1, u_1 \le u_n \le v_n \le v_1$.

Ainsi la suite $(u_n)$ est croissante majorée, et la suite $(v_n)$ est décroissante minorée.

On en déduit que ces deux suites sont convergentes.

Posons $\ell = \lim_{n \to +\infty} u_n$ et $\ell ' = \lim_{n \to +\infty} v_n$.

Si on passe à la limite dans l'égalité $v_{n+1}=\frac{u_n + v_n}{2}$ on trouve $\ell ' = \frac{\ell + \ell '}{2}$ donc $\ell = \ell '$.

Conclusion : les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

Exercice 5:

Par une récurrence évidente, $(u_n)$ et $(v_n)$ sont bien définies et sont à valeurs $>0$.

Pour tout $n \ge 0$, on a : $v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{u_n + v_n}{2}-\frac{2 u_n v_n}{u_n + v_n} = \frac{(v_n - u_n)^2}{2(u_n + v_n)}\ge 0$.

On en déduit que pour tout $n \ge 1$, on al'égalité : $u_n \le v_n$.

Dans ces conditions, pour tout entier naturel $n$ : 

$\frac{2}{u_{n+1}}=\frac{1}{u_n}+\frac{1}{v_n}\le \frac{2}{u_n}$ (donc $u_n \le u_{n+1}$) et $v_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2} \le v_n$.

La suite $(u_n)$ est donc croissante, et la suite $(v_n)$ décroissante, à partir de $n=1$.

En utilisant ce qui précède, on trouve : $\forall n \ge 1, u_1 \le u_n  \le v_n \le v_1$.

Ainsi la suite $(u_n)$ est croissante majorée, et la suite $(v_n)$ est décroissante minorée.

On en déduit que ces deux suites sont convergentes.

Posons $\ell = \lim_{n \to +\infty} u_n$ et $\ell '= \lim_{n \to +\infty} v_n$.

Si on passe à la limite dans l'égalité $v_{n+1}=\frac{u_n + v_n}{2}$ on trouve $\ell ' =\frac{\ell + \ell '}{2}$ et donc $\ell = \ell '$.

Conclusion : les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.