Suites Définies par Récurrence I

Énoncé:

Exercice 1:

Soit une suite $(u_n)$ telle que, pour tout $n \ge 2$, $(n+1)^2 u_{n+1} - (n-1)^2 u_n +n = 0 (E)$.

1. Montrer qu'il existe un réel $k$ tel que si on pose $v_n = u_n - k$ alors pour tout $n \ge 2$ : $(n+1)^2 v_{n+1} - (n-1)^2 v_n = 0$.
2. En déduire l'expression de $v_n$ puis celle de $u_n$.
3. Que se passe-t-il si la relation $(E)$ est vraie pour $n=1$ ?

Exercice 2:

Etudier les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par la donnée du couple ($u_0 > 0, v_0 >0$) et par les relations de récurrence $u_{n+1} = \frac{u_{n}^{2}}{u_n + v_n}$ et $v_{n+1} = \frac{v_{n}^{2}}{u_n + v_n}$.

Exercice 3:

Etudier la suite $(u_n)$ définie par la relation $u_{n+1} = 1 - \frac{1}{u_n}$.

Exercice 4:

Etudier la suite $(u_n)$ définie par la relation $u_{n+1}=\sqrt{2u_n + 35}$.

Exercice 5:

Etudier la suite $(u_n)$ définie par la relation $u_{n+1} = \sqrt{12 - u_n}$.

Corrigé:

Exercice 1:

1. Si on pose $v_n = u_n - k$ alors:

         Il faut donc poser $v_n = u_n +\frac{1}{4}$ pour avoir : $\forall n \ge 2, (n+1)^2 v_{n+1} - (n-1)^2 v_n = 0$.
    2.  Pour tout $n \ge 2$, on a : $v_{n+1} = \frac{(n-1)^2}{(n+1)^2}v_n$. On en déduit, pour $n \ge 3$:
         $v_n = \prod_{k=2}^{n-1}\frac{(k-1)^2}{(k+1)^2}v_2 = v_2 \prod_{k=1}^{n-2}k^2 \prod_{k=3}^{n} \frac{1}{k^2} = \frac{4v_2}{n^2 (n-1)^2}$
         Cette expression de $v_n$ est encore valable si $n=2$.
         On en déduit : $\forall n \ge 2, u_n = -\frac{1}{4}+v_n=-\frac{1}{4}+\frac{4}{n^2 (n-1)^2}(u_2 +\frac{1}{4})$.
         On constate que $\lim_{n \to +\infty}v_n = 0$ et $\lim_{n \to +\infty}u_n = -\frac{1}{4}$.
    3.  Si la relation $(E)$ est vraie pour $n=1$, alors $v_2 = 0$, puis $v_n = 0$ pour tout $n \ge 2$.
         Il en découle que pour tout $n \ge 2$ on a $u_n =-\frac{1}{4}$.

Exercice 2:

On voit que les deux suites sont parfaitement définies et à termes strictement positifs.

Pour tout entier $n$, on a : $v_{n+1} - u_{n+1} = \frac{v_{n}^{2} - u_{n}^{2}}{v_{n} + u_{n}}=v_n - u_n$.

Autrement dit, la suite de terme général $d_n = v_n - u_n$ est constante.

On peut donc écrire, pour tout $n \ge 0 : v_n = u_n + v_0 - u_0$.

D'autre part : $\forall n \in \mathbb{N}, \frac{v_{n+1}}{u_{n+1}} = \left( \frac{v_n}{u_n} \right) ^2$. Ainsi : $\forall n \in \mathbb{N}, \frac{v_n}{u_n}=\left(\frac{v_0}{u_0}\right) ^{2^n}$.

Posons $\lambda = v_0 - u_0$ et $\mu = \frac{v_0}{u_0}$.

• On constate que si $u_0 = v_0$, alors $u_1 = v_1 = \frac{u_0}{2}$ et plus généralement $u_n = v_n = \frac{u_0}{2^n}$ pour tout $n$. Les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont alors convergentes vers $0$.
• On suppose donc $u_0 \ne v_0$, c'est-à-dire $\lambda \ne 0$ et $\mu \ne 1$.

          Pour tout entier $n$, on a : $v_n = u_n \mu ^{2^n} = u_n +\lambda$, donc $u_n = \frac{\lambda}{\mu ^{2^n}-1}$.

              ¤ Supposons $0 <\mu <1$, c'est-à-dire $0< v_0 < u_0$.

                 Alors $\lim_{n \to +\infty}\mu ^{2^n} = 0$ donc $\lim u_n = -\lambda >0$ donc $\lim v_n = 0$.        ¤ Supposons $1 < \mu$, c'est-à-dire $0< u_0 <v_0$.

                Alors $\lim_{n \to +\infty} \mu^{2^n} = +\infty$ donc $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ donc

$\lim v_n = \lambda >0$.

Exercice 3:

$u_1$ est défini si $u_0 \ne 0$, et $u_2$ soit définit si $u_1 \ne 0$, donc si $u_0 \ne 1$.

On a alors $u_2 = 1 - \frac{1}{u_1} = 1 - \frac{1}{1-1/u_0} = \frac{1}{1-u_0}$, puis $u_3 = 1 - \frac{1}{u_2} = 1 - (1-u_0) = u_0$.

L'égalité $u_3 = u_0$ implique que la suite $u$ est périodique de période $3$:

Voici une illustration graphique de la suite $u$, quand $u_0 = -2$ (on a $u_1 = \frac{3}{2}$ et $u_2 = \frac{1}{3}$).

Exercice 4:

La suite $u$ est définie $\Leftrightarrow u_0 \ge -\frac{35}{2}$. On a alors : $\forall n \ge 1, u_n \ge 0$.

L'équation $\ell = \sqrt{\ell +35}$ équivaut = $\ell ^2 -2\ell -35 = 0$ et $\ell \ge 0$.

Or $\ell ^2 - 2\ell - 35 = (\ell -7)(\ell +5)$.

La seule limite finie possible de la suite $u$ est donc $\ell = 7$.

Pour tout entier naturel $n$, on a:

$u_{n+1}-7=\sqrt{2u_n + 35} - \sqrt{2 \times 7 +35} = \frac{2(u_n - 7)}{\sqrt{2u_n +35+7}}$

On en déduit $|u_{n+1} -7| \le \frac{2}{7}|u_{n} -7|$.

Une récurrence évidente donne alors : $\forall n \ge 0, |u_n -7| \le (\frac{2}{7})^n |u_0 -7|$.

Il en découle $\lim_{n \to +\infty}|u_n -7| =0$ c'est-à-dire $\lim_{n \to +\infty} u_n =7$.

Exercice 5:

La suite $u$ est définie par $u_{n+1}=f(u_n)$, où $f(x)=\sqrt{12-x}$.
L'application $f$ réalise une bijection décroissante de $]-\infty , 12]$ sur $[0, +\infty[$.
Pour que $u_1$ soit défini, il est nécessaire que $u_0 \le 12$.
Pour que $u_2$ soit défini, il faut alors $u_1 \le 12$, c'est-à-dire $12-u_0 \le 144$, donc $u_0 \ge -132$.
Réciproquement, si $-132 \le u_0 \le 12$, alors $à \le u_1 \le 12$ puis $0 \le u_n \le 12$ pour tout $n$.
L'équation $\ell = f(\ell )$ équivaut à $\ell ^2 - \ell -12 =0$ et $\ell \ge 0$.
Or $\ell ^2 +\ell -12 = (\ell -3)(\ell +4)$.
La seule limite finie possible de la suite $u$ est donc $\ell = 3$.
Pour tout $n \ge 0$ : $u_{n+1} - 3 = \sqrt{12-u_n } - \sqrt{12-3} = \frac{3-u_n }{\sqrt{12-u_n }+3}$.
On en déduit $|u_{n+1} -3| \le \frac{1}{3} |u_n -3|$ et donc : $\forall n \ge 0, |u_n -3| \le (\frac{1}{3})^3|u_0 -3|$.
Il en découle $\lim_{n \to +\infty}|u_{n+1}-3| = 0$ c'est-à-dire $\lim_{n \to +\infty} u_n =3$.
Remarque:
La suite $u$ n'est pas monotone. On montre en effet que pour tout choix de $u_0$, les suites de terme général $v_n = u_{2n}$ et $w_n = u_{2n+1}$ sont adjacentes, de limite commune $\ell = 3$.