Énoncé:
Exercice 1:
Soit $(u_n)$ une suite dont les suites extraites $(a_n = u_{2n})$ et $(b_n = u_{3n})$ convergent respectivement vers $\ell$ et $\ell '$. Montrer que $\ell = \ell '$.
Exercice 2:
On se donne une suite réelle $(u_n)$.
On suppose que les suites $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{3n})$ sont convergentes.
Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
Exercice 3:
Soit $(u_n)$ une suite bornée ne possédant qu'une seule valeur d'adhérence.
Montrer que cette suite est convergente.
Exercice 4:
Soit $(u_n)$ une suite telle que $\lim_{\infty} (u_{n+1}-u_n) = 0$.
Prouver que l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)$ est vide ou est un intervalle fermé.
Donner un exemple représentatif de cette deuxième éventualité.
Corrigé:
Exercice 1:
Pour tout entier $n$, posons $c_n = u_{6n}$.
- On a $c_n = a_{3n}$. La suite $(c_n)$ est donc extraite de la suite $(a_n)$.
On en déduit que la suite $(c_n)$ est convergente de limité $\ell$.
- On a $c_n = b_{2n}$. La suite $(c_n)$ est donc extraite de la suite $(b_n)$.
On en déduit que la suite $(c_n)$ est convergente de limité $\ell '$.
- Par unicité de la limite, il en découle $\ell = \ell '$.
Exercice 2:
Notons $\ell _a , \ell _b$ et $\ell _c$ les limites respectives des suites $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$.
La suite de terme général $x_n = u_{6n} = a_{3n} = c_{2n}$ est extraite de la suite $(a_n)$.
La suite $(x_n)$ est donc convergente de limite $\ell _a$.
Mais la suite $(x_n)$ est également extraite de la suite $(c_n)$.
Elle est donc convergente de limite $\ell _c$.
Par unicité de la limite, on en déduit $\ell _a = \ell _c$.
De même, la suite de terme général $y_n = u_{6n+3} = b_{3n+1} = c_{2n+1}$ est extraite de la suite $(b_n)$ (donc convergente de limite $\ell _b$) et extraite de la suite $(c_n)$ (donc convergente de limite $\ell _c$).
Par unicité de la limite, on en déduit $\ell _b = \ell _c$.
Finalement $\ell _a = \ell _b$. La suite des termes d'indices pairs et la suite des termes d'indices impairs de la suite $(u_n)$ sont donc convergentes vers la même limite.
On en déduit que la suite $(u_n)$ est convergente vers $\ell = \ell _a =\ell _b$.
Exercice 3:
On suppose que la suite réelle $(u_n)$ est bornée et que $a$ est son unique valeur d'adhérence.
On suppose par l'absurde que la suite $(u_n)$ n'est pas convergente, et qu'elle n'est donc pas convergente vers $a$, sa seule limite possible.
Alors il existe $\epsilon > 0$ tel que, pour tout entier $N$, il existe $n \ge N$ vérifiant $|u_n - a| \ge \epsilon$.
On peut donc extraire une suite $(v_n)$ de $(u_n)$ de telle manière que : $\forall n \in \mathbb{N}, |v_n - a| \ge \epsilon$.
Tout comme la suite $(u_n)$, la suite $(v_n)$ est bornée.
Elle possède donc une valeur d'adhérence $b$, qui vérifie nécessairement $|b-a| \ge \epsilon$.
Le réel $b$ est alors aussi une valeur d'adhérence de $(u_n)$, distincte de $a$, e qui est absurde.
Conclusion : toute suite $(u_n)$ bornée et n'ayant qu'une valeur d'adhérence $a$ converge vers $a$.
Exercice 4:
- L'exemple de la suite de terme général $u_n = \ln n$ (qui tend vers $+\infty$) montre que l'ensemble $X$ des valeurs d'adhérence de la suite $(u_n)$ peut être vide.
- On suppose que $X$ est non vide. On va montrer que $X$ est un intervalle.
Pour cela on se donne deux valeurs d'adhérence $a$ et $b$ de $(u_n)$, avec $a < b $.
Soit $c$ un élément de $]a,b[$. Il faut montrer que $c$ est aussi une valeur d'adhérence de $(u_n)$.
On se donne $\epsilon >0$ : il faut montrer qu'il existe un entier $n$ tel que $|c- u_n| \le \epsilon$. On ne modifie pas la portée de la démonstration en supposant que $a+\epsilon < c<b-\epsilon$.
D'une part il existe un entier $N$ tel que $n \ge N \Rightarrow |u_{n+1}-u_n| \le \epsilon$.
D'autre part, il existe un entier $m \ge N$ tel que $|u_m -a| \le \epsilon$ et un entier $p>m$ tel que $|u_p - b| \le \epsilon$ (en effet $a$ et $b$ sont deux valeurs d'adhérence de la suite $(u_n)$).
Compte tenu de l'hypothèse sur $\epsilon$, on a $u_m < c <u_p$.
Notons $n$ l'indice maximum, compris entre $m$ et $p$, tel que $u_n \le c$.
Avec cette définition, on a donc $u_n \le c \le u_{n+1}$.
Or $|u_{n+1}-u_n | \le \epsilon$ (car $n \ge m \ge N$). On en déduit $|c-u_n | \le \epsilon$.
Cela prouve que $c$ est une valeur d'adhérence de la suite $(u_n)$ et achève la démonstration.
- On définit la suite $u_n$ de la manière suivante.
Il s'agit d'effectuer des parcours successifs du segment $[0,1]$, dans un sens puis dans l'autre, avec un pas qui diminue à chaque nouveau parcours.
On pose donc:
¤ $u_1 = 0, u_2 = 1, u_3 = 0$ (premier "aller-retour")
¤ $u_4 = 0, u_5 = \frac{1}{2}, u_6 = 1, u_7 = \frac{1}{2}, u_8 = 0$ (deuxième "aller-retour")
¤ $u_9 = 0, u_{10} = \frac{1}{3}, u_{11} = \frac{2}{3}, u_{12} = 1, u_{13} = \frac{2}{3}, u_{14} = \frac{1}{3}, u_{15} = 0$
¤ Soit $m \in \mathbb{N}^*$. Le m-ième "aller-retour" s'écrit, en posant $n = m^2$ (et $0 \le k \le m$):
$u_n = 0, u_{n+1}=\frac{1}{m}, \ldots , u_{n+k} = \frac{k}{m}, \ldots , u_{n+m-1} = 1 - \frac{1}{m}, u_{n+m} = 1$,
$u_{n+m+1} = 1-\frac{1}{m}, \ldots , u_{n+m+k} = 1 - \frac{k}{m}, \ldots , u_{n+2m-1}=\frac{1}{m}, u_{n+2m} = 0$.
Avec cette définition, on voit que $|u_{n+1}-u_n| = \frac{1}{m}$, où $m = [\sqrt{n}]$.
On a donc bien $\lim_{\infty} (u_{n+1} - u_n) = 0$.
D'autre part, l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite $(u_n)$ est le segment $[0,1]$.
En effet, soit $x$ un réel de $[0,1]$. Pour tout entier $m \ge 1$, $x$ se situe dans un et un seul intervalle $[u_n , u_{n+1}[$ avec $m^2 \le n m^2 +m-1$, et alors $|x - u_n| < \frac{1}{m}$ qui peut être rendu inférieur à tout $\epsilon > 0$ donné à l'avance.
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