Les Mathématiques pour CPGE

Énoncé: Exercice 1: Soit une suite $(u_n)$ telle que, pour tout $n \ge 2$, $(n+1)^2 u_{n+1} - (n-1)^2 u_n +n = 0 (E)$. Montrer qu'il existe un réel $k$ tel que si on pose $v_n = u_n - k$ alors pour tout $n \ge 2$ : $(n+1)^2 v_{n+1} - (n-1)^2 v_n = 0$. En déduire l'expression de $v_n$ puis celle de $u_n$. Que se passe-t-il si la relation $(E)$ est vraie pour $n=1$ ? Exercice 2: Etudier les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par la donnée du couple ($u_0 > 0, v_0 >0$) et par les relations de récurrence $u_{n+1} = \frac{u_{n}^{2}}{u_n + v_n}$ et $v_{n+1} = \frac{v_{n}^{2}}{u_n + v_n}$. Exercice 3: Etudier la suite $(u_n)$ définie par la relation $u_{n+1} = 1 - \frac{1}{u_n}$. Exercice 4: Etudier la suite $(u_n)$ définie par la relation $u_{n+1}=\sqrt{2u_n + 35}$. Exercice 5: Etudier la suite $(u_n)$ définie par la relation $u_{n+1} = \sqrt{12 - u_n}$. Corrigé: Exercice 1: Si on pose $v_n = u_n - k$ alors:        ...

Énoncé: Exercice 1: Soit $(u_n)$ une suite bornée telle que : $\forall n \ge 1, 2u_n \le u_{n-1}+u_{n+1}$. Montrer que cette suite est convergente. Exercice 2: Montrer que la suite de terme général $u_n = \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots + \frac{1}{kn}$ (où $k$ est un entier donné supérieur ou égal à $2$) est convergente. Exercice 3: On considère la suite de terme général $u_n = \sqrt{1+\sqrt{2 + \sqrt{\ldots +\sqrt{n}}}}$. Montrer que pour tout $n, u_{n+1}^2 \le 1 +\sqrt{2} u_n$. La suite $(u_n)$ est-elle convergente? Exercice 4: On se donne une suite réelle $(u_n)$ et on pose $v_n = \frac{1}{n}(u_1 +u_2 +\ldots + u_n )$. Montrer que si $\lim_{\infty} u_n = \ell$ alors $\lim_{\infty} v_n = \ell$. Vérifier sur un exemple que la réciproque est fausse. Montrer que si la suite $(u_n)$ est monotone, alors la réciproque est vraie. Exercice 5: Soit $p_n$ la probabilité d'obtenir exactement $n$ fois pile en $2n$ lancers d'une pièce équilib...

Énoncé: Exercice 1: Soit $(u_n)$ une suite dont les suites extraites $(a_n = u_{2n})$ et $(b_n = u_{3n})$ convergent respectivement vers $\ell$ et $\ell '$. Montrer que $\ell = \ell '$. Exercice 2: On se donne une suite réelle $(u_n)$. On suppose que les suites $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{3n})$ sont convergentes. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente. Exercice 3: Soit $(u_n)$ une suite bornée ne possédant qu'une seule valeur d'adhérence. Montrer que cette suite est convergente. Exercice 4: Soit $(u_n)$ une suite telle que $\lim_{\infty} (u_{n+1}-u_n) = 0$. Prouver que l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)$ est vide ou est un intervalle fermé. Donner un exemple représentatif de cette deuxième éventualité. Corrigé: Exercice 1: Pour tout entier $n$, posons $c_n = u_{6n}$. On a $c_n = a_{3n}$. La suite $(c_n)$ est donc extraite de la suite $(a_n)$.          On en déduit que la suite $(c_n)$ est conve...

Énoncé: Exercice 1: Montrer que les suites de terme général $u_n  = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$ et $v_n = u_n + \frac{1}{n(n!)}$ sont adjacentes. Montrer que les limites communes est irrationnelle. Exercice 2: Trouver la condition sur les réels $u_0$, $v_0$, $\lambda \ge 0$ et $\mu \ge 0$ pour que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par récurrences $u_{n+1} = \frac{u_n + \lambda v_n}{1 + \lambda}$ et $v_{n+1} = \frac{v_n + \mu v_n}{1 + \mu}$ sont adjacentes. Dans le cas général, les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont-elles convergentes, et vers quelle limite? Exercice 3: Montrer que la suite de terme général $u_n = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \ldots + (-1)^n \frac{1}{n!}$ est convergente et que sa limite est un irrationnel. Exercice 4: Etudier les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par la donnée du couple $(u_0 = a, v_0 = b >0)$ et par les relations $u_{n+1} = \sqrt{u_n v_n}$ et $v_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2}$. Exercice 5: Soient $a$ e...

Énoncé: Exercice 1: Que dire de deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ de $[0,1]$ telles que $\lim_{\infty}u_n v_n = 1$? Exercice 2: Calculer la limite de la suite de terme général $u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{C_n ^k}$. Exercice 3: Limite de la suite de terme général $u_n = \prod_{k=1}^{n}(1+ \frac{k}{n^2})$. Exercice 4: Limite de la suite de terme général $u_n = \frac{n}{n^2 +1} + \frac{n}{n^2 +2} + \ldots + \frac{n}{n^2 +n}$. Exercice 5: Limite de la suite de terme général $u_n = \frac{1}{n!}(1!+2!+\ldots +n!)$. Exercice 6: Limites des suites de terme général $u_n = \sqrt[n]{n}$ et $v_n = \sqrt[n]{n!}$. Corrigé: Exercice 1: Pour tout entier $n$, on a : $0 \le u_n v_n \le u_n \le 1$ et $0 \le u_n v_n \le v_n \le 1$. On en déduit : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} v_n = 1$. Exercice 2: On écrit $u_n = \frac{1}{C_n ^0} + \frac{1}{C_n ^1}+ \sum_{k=2}^{n-2} \frac{1}{C_n ^k} + \frac{1}{C_n ^{n-1}} + \frac...

Énoncé: Exercice 1: Résoudre $E(2x - 1) = E(x-4)$ dans $\mathbb{R}$. Exercice 2: Etudier $\lim_{\infty}[u_n]$ si $\lim_{\infty}u_n = \ell$. Exercice 3: Calculer $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}([x] + [2x] + \ldots +[nx])$. Exercice 4: Soient $x$ un réel, et $n$ un entier naturel non nul. On note $t \mapsto [t]$ l'opérateur "partie entière". Montrer que pour tout entier relatif $k$, $\left[ \frac{x+k}{n} \right] = \left[ \frac{[x] + k}{n} \right]$. Montrer que $\sum_{k=0}^{n-1} \left[\frac{x+k}{n} \right] = [x]$. Corrigé: Exercice 1: Posons $k = [x]$. On a $k \le x \le k+1$. Si $k \le x < k + \frac{1}{2}$ alors $2k \le 2x \le 2k+1$ et $[2x]=2k$.           L'équation équivaut alors à $2k-1 = k-4$, c'est-à-dire $k=-3$.           On obtient ainsi les solutions $x \in [-3 , -\frac{5}{2}[$. Si $k + \frac{1}{2} \le x <k+1$ alors $2k+1 \le 2x < 2k+2$ et $[2x]=2k+1$.    ...

Énoncé: Exercice 1: Montrer que $\sqrt[3]{45 + 29 \sqrt{2}}+\sqrt[3]{45 - 29 \sqrt{2}}$ est un entier. Exercice 2: Soient $m$ et $n$ des entiers naturels. Montrer que si $n$ n'est pas un carré parfait, alors $\sqrt{n}$ est irrationnel. Montrer que si $m$ et $n$ ne sont pas des carrés, alors $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ n'est pas rationnel. Exercice 3: Montrer que pour tous $a, b$ dans $\mathbb{Q}$, $a + b \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow a = b = 0$. Montrer que : $\forall (a,b,c) \in \mathbb{Q}^{3}, a \sqrt{2} + b \sqrt{3} + c \sqrt{5} = 0 \Leftrightarrow a = b = c = 0$. Exercice 4: Montrer que $\sqrt[3]{5} + \sqrt{2}$ est un irrationnel. Corrigé: Exercice 1: Posons $ a = \sqrt[3]{45 + 29 \sqrt{2}}, b = \sqrt[3]{45 - 29 \sqrt{2}}$ et $ x = a + b$. On constate que $a^3 + b^3 = 90$. D'autre part, $ab = \sqrt[3]{45^2 + 2 . 29^2} = \sqrt[3]{343} = 7$. Ainsi $90 = (a +b)(a^2 - ab + b^2) = (a + b)((a + b)^2 - 3ab) = x(x^2 -21)$. Le réel $x$ e...

Énoncé: Exercice 1: Soit $f$ une application de $E$ dans $E$ et $\mathcal{S} = \{ X \subset E, f^{-1}(f(X)) = X \}$. Soit $A$ une partie quelconque de $E$. Montrer que $f^{-1}(f(A))$ appartient à $\mathcal{S}$. Montrer que toute intersection ou réunion d'éléments de $\mathcal{S}$ est encore un élément de $\mathcal{S}$. Exercice 2: Soit $f$ une application de $E$ dans $F$. Montrer que pour toute partie $A$ de $E$, $f^{-1}(f(A)) \supset A$. Montrer que pour toute partie $B$ de $F$, $f^{-1}(f(B)) = f(E) \cap B$. Prouver que $f$ est injective $\Leftrightarrow \forall A \subset E, f^{-1}(f(A)) = A$. Prouver que $f$ est surjective $\Leftrightarrow \forall B \subset F, f^{-1}(f(B)) = B$. Exercice 3: Soient $A$ et $B$ deux parties non vides d'un ensemble $E$. On considère l'application $f$, de $\mathcal{P}(E)$ dans $\mathcal{P}(A) \times \mathcal{P}(B)$ définie par $f(X) = (X \cap A, X \cap B)$. Montrer que $f$ est injective $\Leftrightarrow A \c...

Énoncé: Exercice 1: Soit $E$ un ensemble. Trouver toutes les applications $f$ de $E$ telles que, pour toute application $g$ de $E$, on ait $g \circ f = f \circ g$. Exercice 2:  Déterminer l'erreur dans le raisonnement suivant :  Si une relation $\mathcal{R}$ sur un ensemble de $E$ est symétrique et transitive alors elle est réflexive car pour tous $x, y$ de $E$ : $x \mathcal{R} y \Rightarrow y \mathcal{R} x$  puis $( x \mathcal{R} y$  et $ y \mathcal{R} x) \Rightarrow x \mathcal{R} y$ . Exercice 3: Quelle est la seule relation sur $E$ qui soit à la fois réflexive, symétrique et antisymétrique? Corrigé: Exercice 1: Soit $x$ un élément de $E$, et $g$ l'application constante qui à tout élément $t$ de $E$ associe $x$. L'hypothèse $g \circ f = f \circ g$, évaluée en un point quelconque de $E$, donne $ x = f(x) $. L'application $f$ est donc nécessairement l'identité de $E$. Réciproquement, l'application identité de $E$ convient de mani...

Énoncé: Exercice 1: Soit $f$ une application de $\mathcal{P}(E)$ dans $\mathbb{R}$. On suppose que pour toutes parties $A$ et $B$ disjointes de $E$, $f(A \cup B) = f(A) + f(B)$. Montrer que $f(\emptyset) = 0$. Prouver que pour toutes parties $A$ et $B$ de $E$, $f(A \cup B) = f(A) + f(B) - f(A \cap B)$. Exercice 2: Soit $f$ une application de $E$ dans $F$. Montrer que pour toutes partie $A$ de $E$, $f(F(B) \cap A) = B \cap f(A)$. Exercice 3: Soit $f$ une application de $E$ dans $E$. Montrer que $f$ est bijective $\Leftrightarrow$ pour toute partie $A$ de $E$, $f(\bar{A}) = \overline{f(A)}$ (on note $\bar{A}$ le complémentaire de $A$ dans $E$.) Exercice 4: Soient $E$ un ensemble non vide, et $A$, $B$ deux parties de $E$. On note $[A, A \cup B ] = \{ X \subset E, A \subset X \subset A \cup B \}$ et $ [ A \cap B, B] = \{ Y \subset E, A \cap B \subset Y \subset B \}$. On définit $ f : [A, A \cup B ] \rightarrow [A \cap B, B]$ par $f(X) = X \cap B$. ...

Énoncé: Exercice 1: Soient $f : E \rightarrow F$, $g : F \rightarrow G$ et $h : G \rightarrow E$ trois applications. Montrer que si, parmi les trois applications $h \circ g \circ f$, $g \circ f \circ h$ et $f \circ h \circ g$, deux sont surjectives et la troisième injective (ou deux sont injectives et la troisième surjective) alors les trois applications $f$, $g$, et $h$ sont bijectives. Exercice 2: Soit $f$ une application de $E$ dans $F$. Montrer l'équivalence des deux propriétés suivantes: $f$ est surjective. Pour tout ensemble $G$ et toutes applications $g, h : F \rightarrow G$, $g \circ f = h \circ f \Rightarrow g = h$. Exercice 3: Soit $f : E \rightarrow F$, $g : F \rightarrow G$ et $h : G \rightarrow E$ trois applications. Montrer que si $g \circ f$ et $h \circ g$ sont bijectives, alors $f$, $g$ et $h$ sont bijectives. Exercice 4: Soit $f : E \rightarrow F$ et $g : F \rightarrow G$ deux applications. Montrer les i...

Énoncé: Exercice 1: Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Quelle relation y-a-t-il : Entre $\mathcal{P}(E \cup F)$ et $\mathcal{P}(E) \cup \mathcal{P}(F)$ ? Entre $\mathcal{P}(E \cap F)$ et $\mathcal{P}(E) \cap \mathcal{P}(F)$ ? Entre $\mathcal{P}(E \times F)$ et $\mathcal{P}(E) \times \mathcal{P}(F)$ ? Exercice 2: Soit $E$ un ensemble non vide. Soit $\mathcal{F}$ une partie non vide de $\mathcal{P}(E)$. On dit que $\mathcal{F}$ est un filtre  si : Que pourrait-on dire d'une famille non vide $\mathcal{F}$ de $\mathcal{P}(E)$ ne vérifiant que $(a)$ et $(b)$ ? $\mathcal{P}$ est-il un filtre sur $E$ ? A quelle condition $\mathcal{P}(E)-\{\emptyset \}$ est-il un filtre sur $E$ ? Montrer que si $\mathcal{F}$ est un filtre sur $E$, alors $E \in \mathcal{F}$. Soit $A$ une partie non vide de $E$. Montrer que $\mathcal{F}_A = \{ X \subset E, A \subset X \}$ est un filtre sur $E$. Exercice 3: Soient $(A_i)_{i \in I}$ et $(B_i)_{i \in I}$ deux fami...

UNION, INTERSECTION, DIFFÉRENCE SYMÉTRIQUE Énoncés des exercices EXERClCE 1 Que dire de deux sous-ensembles \(A\) et \(B\) de \(E\) tels que \(A \cup B = A \cap B\)? EXERClCE 2 Soient \(A,\) \(B,\) \(C\) trois ensembles. A quoi équivaut l’égalité \(A \cup B = A \cap B\)? EXERClCE 3 Soient \(A,\) \(B,\) \(C\) trois ensembles. Montrer que \[\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} A\cup B\subset A\cup C \\ {} \\ A\cap B\subset A\cap C \\ \end{array} \right.\Rightarrow B\subset C.\] EXERClCE 4 Soient \(A,\) \(B,\) \(C\) trois ensembles. Montrer que $\left( A~\cup B \right)\cap \left( B\cup C \right)\cap \left( C\cup A \right)=\left( A\cap B \right)\cup \left( B\cap C \right)U\left( C\cap A \right)$ . EXERClCE 5 Pour toutes parties \(A\) et \(B\) d’un ensemble \(E\), on pose \(A\Delta B = \left( {AUB} \right)\backslash \left( {A \cap B} \right)\) . \(A\Delta B\) est appelé différence symétrique de \(A\) et de \(B.\) 1. Montrer qu’une définition équivalente est : \(A\Delta B...