Énoncé:
Exercice 1:
Que dire de deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ de $[0,1]$ telles que $\lim_{\infty}u_n v_n = 1$?
Exercice 2:
Calculer la limite de la suite de terme général $u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{C_n ^k}$.
Exercice 3:
Limite de la suite de terme général $u_n = \prod_{k=1}^{n}(1+ \frac{k}{n^2})$.
Exercice 4:
Limite de la suite de terme général $u_n = \frac{n}{n^2 +1} + \frac{n}{n^2 +2} + \ldots + \frac{n}{n^2 +n}$.
Exercice 5:
Limite de la suite de terme général $u_n = \frac{1}{n!}(1!+2!+\ldots +n!)$.
Exercice 6:
Limites des suites de terme général $u_n = \sqrt[n]{n}$ et $v_n = \sqrt[n]{n!}$.
Corrigé:
Exercice 1:
Pour tout entier $n$, on a : $0 \le u_n v_n \le u_n \le 1$ et $0 \le u_n v_n \le v_n \le 1$.
On en déduit : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} v_n = 1$.
Exercice 2:
On écrit $u_n = \frac{1}{C_n ^0} + \frac{1}{C_n ^1}+ \sum_{k=2}^{n-2} \frac{1}{C_n ^k} + \frac{1}{C_n ^{n-1}} + \frac{1}{C_n ^n} = 2 + \frac{2}{n}+ \sum_{k=2}^{n-2} \frac{1}{C_n ^k}$
Pour tout $n \ge 4$ et pour tout $k$ de $\{2, \ldots , n-2 \}$, on a : $C_n ^k \ge C_n ^2$ et $C_n ^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.
On en déduit $2 \le u_n \le 2 + \frac{2}{n} + \frac{n-3}{C_n ^2}$ c'est-à-dire : $2 \le u_n \le 2+\frac{2}{n} + \frac{2(n-3)}{n(n-1)}$.
Finalement on trouve : $\lim_{n \to +\infty} = 2$.
Exercice 3:
Montrons que pour tout $x \ge 0$, on a l'encadrement $x-\frac{1}{2} x^2 \le \ln (1+n) \le x$.
Pour cela on définit $x \mapsto \phi (x) = x-\ln (1+x)$ et $x \mapsto \psi (x) = \ln (1+x)-x+\frac{1}{2} x^2$.
Pour tout $x \ge 0$, on a : $\phi '(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x} \ge 0$.
Pour tout $x \ge 0$, on a : $\psi '(x) = \frac{1}{1+x}-1+x = \frac{x^2}{1+x} \ge 0$.
Ainsi les applications $\phi$ et $\psi$, qui sont nulles en $0$, sont croissantes sur $\mathbb{R}^+$. On en déduit que sur $\mathbb{R}^+$ elles sont à valeurs $\ge 0$, ce qu'il fallait prouver.
Pour tout $n \ge 1$, on a $ \ln u_n = \sum_{k=1}^n \ln (1 +\frac{k}{n^2})$.
Ainsi, e, encadrant chaque terme de la somme : $\sum_{k=1}^{n}\left( \frac{k}{n^2}-\frac{k^2}{2n^4}\right) \le \ln u_n \le \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2}$
Autrement dit : $\frac{n+1}{2n} - \frac{(n+1)(2n+1)}{12n^3} \le \ln u_n \le \frac{n+1}{2n}$.
On fait tendre $n$ vers $+\infty$ et on trouve : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1}{2}$ et donc $\lim_{n \to +\infty} u_n = \sqrt{e}$.
Exercice 4:
Par définition, $u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 +k}$.
Pour tout entier $k$ de $\{ 1, \ldots , n \}$, on a:
$\frac{n}{n^2 +n} \le \frac{n}{n^2 +k} \le \frac{n}{n^2 +1}$
On en déduit l'encadrement $\frac{n^2}{n^2 +n} \le u_n \le \frac{n^2}{n^2 +1}$.
En passant à la limite, quand $n \to +\infty$, on trouve donc $\lim_{n \to +\infty} u_n =1$.
Exercice 5:
On écrit $u_n =\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{n-2}k! + \frac{1}{n}+1 \ge 1$.
Pour chaque $k$ de $\{ 1, \ldots , n-2 \}$, on a $k! \le (n-2)!$.
On en déduit un encadrement de $u_n$ : $1 \le u_n \le 1 +\frac{1}{n}+(n-2) \frac{(n-2)!}{n!}$.
Autrement dit : $\forall n \ge 2, 1\le u_n \le 1 + \frac{1}{n} + \frac{n-2}{n(n-1)}$. Il en découle $\lim_{n \to +\infty} u_n =1$.
Exercice 6:
On a $\ln u_n = \frac{1}{n} \ln n$. Ainsi $\lim_{n \to +\infty} \ln u_n = 0 \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} u_n =1$.
Dans le produit $n! = \prod_{k=1}^n k$, il y a au moins $\frac{n}{2}$ termes qui sont supérieurs ou égaux à $\frac{n}{2}$.
On ne déduit $n! \ge (\frac{n}{2})^{n/2}$ puis $v_n \le \sqrt{\frac{n}{2}}$. Il en découle $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$.
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