Applications et Parties d'un Ensemble II

Énoncé:

Exercice 1:

Soit $f$ une application de $E$ dans $E$ et $\mathcal{S} = \{ X \subset E, f^{-1}(f(X)) = X \}$.

1. Soit $A$ une partie quelconque de $E$. Montrer que $f^{-1}(f(A))$ appartient à $\mathcal{S}$.
2. Montrer que toute intersection ou réunion d'éléments de $\mathcal{S}$ est encore un élément de $\mathcal{S}$.

Exercice 2:

Soit $f$ une application de $E$ dans $F$.

1. Montrer que pour toute partie $A$ de $E$, $f^{-1}(f(A)) \supset A$.
2. Montrer que pour toute partie $B$ de $F$, $f^{-1}(f(B)) = f(E) \cap B$.
3. Prouver que $f$ est injective $\Leftrightarrow \forall A \subset E, f^{-1}(f(A)) = A$.
4. Prouver que $f$ est surjective $\Leftrightarrow \forall B \subset F, f^{-1}(f(B)) = B$.

Exercice 3:

Soient $A$ et $B$ deux parties non vides d'un ensemble $E$.

On considère l'application $f$, de $\mathcal{P}(E)$ dans $\mathcal{P}(A) \times \mathcal{P}(B)$ définie par $f(X) = (X \cap A, X \cap B)$.

1. Montrer que $f$ est injective $\Leftrightarrow A \cup B = E$.
2. Montrer que $f$ est surjective $\Leftrightarrow A \cap B = \emptyset$.
3. Dans le cas où $f$ est bijective, déterminer $f^{-1}$.

Exercice 4:

Soit $A$ une partie d'un ensemble $E$.

On lui associe l'application $\chi _{A}$, de $E$ vers $\{ 0, A \}$, définie par 

Montrer que $A \mapsto \chi _A$ est une bijection de $\mathcal{P}(E)$ sur l'ensemble $\mathcal{F}(E, \{ 0, 1 \})$.

Corrigé:

Exercice 1:

Remarque (voir l'exercice suivant) :

• Pour toute partie $X$ de $E$ on a $f^{-1}(f(X)) \supset X$.
• Pour toute partie $Y$ de $E$, on a $f(f^{-1}(Y)) \subset Y$.

1. Soit $A$ une partie de $E$, et soit $B = f^{-1}(f(A))$.

          On utilise deux fois la remarque précédente.

          D'une part $B$ contient $A$. L'ensemble $f(B)$ contient $f(A$.

          D'autre part $f(B) = f(f^{-1}(f(A)))$ est inclus dans $f(A)$.

          On en déduit $f(B) = f(A)$, puis $f^{-1}(f(B)) = f^{-1}(f(A)) = B$, ce qu'il fallait démontrer.

     2.  Soit $(A_{i})_{i \in I}$ une famille quelconque d'éléments de $\mathcal{S}$.

          Pour la réunion c'est évident :

          

          Pour l'intersection, il y a une inclusion :


         Mais on sait que l'inclusion inverse $f^{-1} \left[ f \left( \bigcap_{i \in I} A_i \right) \right ] \supset \bigcap_{i \in I} A_i$ est vraie.
         On a donc prouvé que $\bigcup_{i \in I}A_i$ et $ \bigcap_{i \in I} A_i$ sont éléments de $\mathcal{S}$.

Exercice 2:

1. Soit $A$ une partie de $E$. Soit $a$ un élément de $A$.

          Par définition l'image $b$ de $a$ est dans $B = f(A)$ donc $a$ est dans $f^{-1}(B)$.

          Ainsi $a$ appartient $f^{-1}(f(A))$. On a donc prouvé $A \subset f^{-1}(f(A))$.

    2.  Soit $B$ une partie de $F$. On a les équivalences suivantes :

         On a donc prouvé l'égalité $f(f^{-1}(B)) = f(E) \cap B$, et il-en découle $f(f^{-1}(B)) \subset B$.
    3.  On suppose que $f$ est injective. Soit $A$ une partie de $E$.
         Pour prouver l'égalité $f^{-1}(f(A)) = A$, il suffit de vérifier l'inclusion $f^{-1}(f(A)) \subset A$.
         On se donne donc un élément $b$ de $f^{-1}(f(A))$.
         Par définition $f(b)$ est dans $f(A)$. Donc il existe $a$ dans $A$ tel que $f(b) = f(a)$.
         Mais l'égalité $f(b) = f(a)$ et l'injectivité de $f$ donnent $b = a$ donc $b \in A$.
         Ainsi on al'inclusion $f^{-1}(f(A)) \subset A$ , puis l'égalité.
         On suppose réciproquement que pour toute partie $A$ de $E$, on a $f^{-1}(f(A)) = A$.
         Soient $a$ et $b$ deux éléments de $E$ tels que $f(a) = f(b)$. Il faut prouver $a = b$.
         $f(b) = f(a) \Rightarrow f(b) \in \{ f(a) \} = f( \{ a \}) = f( \{ a \}) \Rightarrow f^{-1}(f( \{ a \}) = \{ a \} $.
        Ce dernier résultat signifie $b = a$, ce qu'il fallait démontrer.
   4.  L'hypothèse s'exprime ici par : $\forall B \subset F$, $B = f(E) \cap B$ (question 2).
        Autrement dit, elle signifie que pour toute partie $B$ de $F$, on a $B \subset f(E)$, ce qui équivalent évidemment à $f(E) = F$, c'est-à-dire à la surjectivité de $f$.

Exercice 3: 

1. On note que pour toute partie $X$ de $E$ contenant $A$ et $B$, on a $f(X) = (A, B)$.

          En particulier, $f(A \cup B) = f(E) = (A, B)$.

          Il s'ensuite que si $f$ est injective alors $A \cup B = E$.

          Réciproquement, supposons $A \cup B = E$, et soient $X, Y$ deux parties de $E$ telles que $f(X) = f(Y)$.

          On a donc $X \cap A = Y \cap A$ et $X \cap B = Y \cap B$.

          Par réunion, on en déduit : $(X \cap A) \cup (X \cap B) = (Y \cap A) \cup (Y \cap B)$, donc $X \cap (A \cup B) = Y \cap (A \cup B)$, ou encore $X \cap E = Y \cap E$ c'est-à-dire $ X = Y$.

          Conclusion : $f$ est injective si et seulement si $A \cup B = E$.

   2.    Supposons $A \cap B = \emptyset$. Soient $A'$ une partie de $A$ et $B'$ une partie de $B$.

          Pour montrer que $f$ est surjective, il faut trouver $X \subset E$ telle que 
          On constate que $X = A' \cup B'$ convient. En effet :

          Réciproquement, supposons $f$ surjective. Alors il existe $X \subset E$  tel que $f(X) = (\emptyset , B)$.

          Autrement dit, il existe $X \subset E$ tel que  c'est-à-dire tel que
          On en déduit $B \subset \overline{A}$, ce qui exprime que l'intersection $A \cap B$ est vide.
          Conclusion : $f$ est surjective si et seulement si $A \cap B = \emptyset$.
   3.    On suppose que $f$ est bijective, c'est-à-dire que , ce qui s'écrit $B = \overline{A}$.
          D'après la première partie de la question précédente, la bijection réciproque de $f$ est l'application $g$ de $\mathcal{P}(A) \times \mathcal{P}(B)$ vers $\mathcal{P}(E)$ définie par $g(A', B') = A' \cup B'$.

Exercice 4:

Pour toute application $f$ de $E$ dans $\{0, 1 \}$, il existe effectivement une et une seule partie $A$ de $E$ telle que $f = \chi _A$ : c'est l'ensemble des éléments $x$ de $E$ tels que $f(x) = 1$, c'est-à-dire l'image réciproque du singleton $\{ 1 \}$.