Énoncé:
Exercice 1:
Résoudre $E(2x - 1) = E(x-4)$ dans $\mathbb{R}$.
Exercice 2:
Etudier $\lim_{\infty}[u_n]$ si $\lim_{\infty}u_n = \ell$.
Exercice 3:
Calculer $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}([x] + [2x] + \ldots +[nx])$.
Exercice 4:
Soient $x$ un réel, et $n$ un entier naturel non nul.
On note $t \mapsto [t]$ l'opérateur "partie entière".
- Montrer que pour tout entier relatif $k$, $\left[ \frac{x+k}{n} \right] = \left[ \frac{[x] + k}{n} \right]$.
- Montrer que $\sum_{k=0}^{n-1} \left[\frac{x+k}{n} \right] = [x]$.
Corrigé:
Exercice 1:
Posons $k = [x]$. On a $k \le x \le k+1$.
- Si $k \le x < k + \frac{1}{2}$ alors $2k \le 2x \le 2k+1$ et $[2x]=2k$.
L'équation équivaut alors à $2k-1 = k-4$, c'est-à-dire $k=-3$.
On obtient ainsi les solutions $x \in [-3 , -\frac{5}{2}[$.
- Si $k + \frac{1}{2} \le x <k+1$ alors $2k+1 \le 2x < 2k+2$ et $[2x]=2k+1$.
L'équation équivaut alors à $2k=k-4$, c'est-à-dire $k=-4$.
On obtient ainsi les solutions $x \in [-\frac{7}{2},-3[$.
- Finalement, l'ensemble des solutions est l'intervalle $[-\frac{7}{2},-\frac{5}{2}[$.
Exercice 2:
- Si $\ell = \pm \infty$, alors $\lim_{n \to +\infty}[u_n] = \ell$ : C'est une conséquence de $u_n -1 < [u_n] \le u_n$.
Dans la suite, on suppose que $\ell$ est un réel.
- Supposons que $\ell$ ne soit pas entier. Notons $k=[\ell]$. On a $k<\ell <k+1$.
Soit $\epsilon > 0$ tel que $k < \ell - \epsilon < k+1$.
Il existe un entier $n_0$ tel que $n \ge n_0 \Rightarrow \ell - \epsilon \le u_n \le \ell + \epsilon $.
Pour tout $n \ge n_0$, on a donc : $[u_n]=k=[\ell]$.
Ainsi la suite $([u_n])$ est stationnaire en $[\ell]$ donc convergente en ce point.
- Si $\ell$ est un entier, alors plusieurs cas sont possibles :
- Si $\exists n_0$ tel que $n \ge n_0 \Rightarrow u_n \ge \ell$, alors $([u_n])$ stationnaire en $\ell$, donc converge vers $\ell$.
- Si $\exists n_0$ tel que $n \ge n_0 \Rightarrow u_n < \ell$, alors $([u_n])$ stationnaire en $\ell - 1$, donc converge vers $\ell -1$.
- Dans les autres cas, c'est-à-dire si pour tout $N$ il existe $n_0 \ge N$ et $n_1 \ge N$ tels que $u_{n_0} < \ell$ et $u_{n_1} \ge \ell$ alors la suite de terme $([u_n])$ n'est pas convergente (elle possède une suite extraite convergente vers $\ell$ et une autre convergente vers $\ell -1$.)
Par exemple si $u_n=\frac{(-1)^n}{n+1}$, alors $[u_{2n+1}] = -1$.
Exercice 3:
Pour tout réel $x$, et tout entier $k$, on a $kx \le [kx]<kx+1$.
On en déduit l'encadrement : $\frac{x}{n^2} \sum_{k=1}^n k \le u_n (x) < \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n}(kx+1)$.
Autrement dit : $\frac{n+1}{2n}x \le u_n (x) < \frac{n+1}{2n} x + \frac{1}{n}$. On en déduit $\lim_{n \to +\infty} u_n (x) = \frac{x}{2}$.
Exercice 4:
- Soit $ q = \left[ \frac{x+k}{n} \right]$. On a $q \le \frac{x+k}{n} < q+1$ c'est-à-dire $qn-k \le x < (q+1)n-k$ (1).
Pour tous entier $m$ et $p$, on a : $m \le x <p \Leftrightarrow m \le [x] < p$.
(1) équivaut donc à $qn-k \le [x] < (q+1)n-k$, c'est-à-dire $q \le \frac{[x]+k}{n} < q+1$.
On en déduit $\left[ \frac{[x]+k}{n} \right] = q$, ce qu'il fallait démontrer.
2. On commence par traiter le ca où $x$ un entier relatif.
Soit $x=qn+r$ la division euclidienne de $x$ par $n$ : le reste $r$ vérifie $0 \le r \le n-1$.
Pour tout entier $k$ de $\{ 0,\ldots ,n-1 \}$, on a : $\left[ \frac{x+k}{n} \right] = \left[ q + \frac{r+k}{n} \right] = q + \left[ \frac{r+k}{n} \right]$.
Remarquons que $0 \le r+k \le 2n-2 \le 2n$ : $\left[ \frac{r+k}{n} \right]$ est donc égale à $0$ ou $1$.
- Si $0 \le k \le n-r-1$ (ce qui fait $n-r$ possibilités) alors $r+k \le n-1$ et $\left[ \frac{r+k}{n} \right] = 0$.
- Si $n-r \le k \le n-1$ (ce qui fait $r$ possibilités), alors $r+k \ge n$ et $\left[ \frac{r+k}{n} \right] = 1$.
On en déduit:
On suppose maintenant que $x$ est un réel quelconque.
D'après (a), $\sum_{k=0}^{n-1} \left[ \frac{x+k}{n} \right] = \sum_{k=0}^{n-1} \left[ \frac{[x]+k}{n} \right]$.
Mais $[x]$ est un entier relatif, et cette dernière somme est égale à $[x]$, comme on vient de le voir. Le résultat est donc prouvé pour tout réel $x$.
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