Énoncé:
Exercice 1:
Montrer que $\sqrt[3]{45 + 29 \sqrt{2}}+\sqrt[3]{45 - 29 \sqrt{2}}$ est un entier.
Exercice 2:
Soient $m$ et $n$ des entiers naturels.
- Montrer que si $n$ n'est pas un carré parfait, alors $\sqrt{n}$ est irrationnel.
- Montrer que si $m$ et $n$ ne sont pas des carrés, alors $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ n'est pas rationnel.
Exercice 3:
- Montrer que pour tous $a, b$ dans $\mathbb{Q}$, $a + b \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow a = b = 0$.
- Montrer que : $\forall (a,b,c) \in \mathbb{Q}^{3}, a \sqrt{2} + b \sqrt{3} + c \sqrt{5} = 0 \Leftrightarrow a = b = c = 0$.
Exercice 4:
Montrer que $\sqrt[3]{5} + \sqrt{2}$ est un irrationnel.
Corrigé:
Exercice 1:
Posons $ a = \sqrt[3]{45 + 29 \sqrt{2}}, b = \sqrt[3]{45 - 29 \sqrt{2}}$ et $ x = a + b$.
On constate que $a^3 + b^3 = 90$.
D'autre part, $ab = \sqrt[3]{45^2 + 2 . 29^2} = \sqrt[3]{343} = 7$.
Ainsi $90 = (a +b)(a^2 - ab + b^2) = (a + b)((a + b)^2 - 3ab) = x(x^2 -21)$.
Le réel $x$ est donc une racine de $P(x) = x^3 -21x -90 = (x-6)(x^2 + 6x +15)$.
On en déduit $x = 6$ (seule racine de $P$).
Exercice 2:
- On suppose que $n$ n'est pas un carré parfait.
Par l'absurde on suppose aussi que $\sqrt{n}$ est rationnel.
Il existe donc deux entiers positifs $a$ et $b$ (que l'on peut supposer sans facteur premier commun) tels que $\sqrt{n}=\frac{a}{b}$, donc tels que $a^{2} = nb{2}$.
Puisque $n$ n'est pas un carré parfait, l'un de ses facteurs premiers $p$ est présent dans la décomposition de $n$ avec un exposant impair.
Puisque l'entier premier $p$ divise $n$, il divise $nb^{2} = a^2$ : il divise donc $a$.
Mais l'exposant de $p$ dans la décomposition de $a^2$ (donc dans la décomposition de $nb^2$) est pair. On ne déduit que $p$ figure dans la décomposition de $b$ ce qui est absurde car $a$ et $b$ sont censés être sans facteur premier commun.
Conclusion : si $n$ n'est pas un carré parfait, alors $\sqrt{n}$ est irrationnel.
2. On suppose que $r = \sqrt{m} + \sqrt{n}$ est rationnel.
Il en alors de même de son carré $r^2 = m + n + \sqrt{mn}$.
Mais celà implique que $\sqrt{mn}$ est rationnel.
D'après ce qui précède, l'entier $mn$ est un carré parfait $a^2$, avec $a \in \mathbb{N}*.
On peut donc écrire $m = \frac{a^2}{n}$ et $r = \sqrt{m} + \sqrt{n} = \frac{a}{\sqrt{n}} + \sqrt{n} = \frac{a + n}{\sqrt{n}}$.
On constate alors que $\sqrt{n} = \frac{a + n}{r}$ est un irrationnel.
On en déduit que $n$ est un carré parfait.
En échangeant les rôles, on a le même résultat pour $m$.
Conclusion : si $m$ et $n$ ne sont pas des carrés parfaits, alors $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ est irrationnel.
Exercice 3:
- Si $a = b = 0$, alors $a + b \sqrt{2} = 0$. Réciproquement si $a + b \sqrt{2} = 0$ alors $b = 0$ (sans quoi $\sqrt{2}$ serait égal au rationnel $-\frac{a}{b}$.) puis $a = 0$.
- Si $a = b = c = 0$, alors $a \sqrt{2} + b\sqrt{3} + c \sqrt{5} = 0$.
Réciproquement, supposons $a \sqrt{2} + b\sqrt{3} + c \sqrt{5} = 0$.
Alors $5c^2 = (a \sqrt{2} + b \sqrt{3})^2 = 2a^2 + 3b^2 + 2ab \sqrt{6}$.
On en déduit $ a = 0 $ ou $b = 0$ sinon $\sqrt{6} serait rationnel (cf exercice précédent).
- Si $a = 0$, alors $5c^2 = 3b^2$ puis $(5c)^2 = 15b^2$.
On en déduit $b = 0$ (sinon $\sqrt{15}$ serait rationnel) puis $c = 0$.
- Si $b = 0$, alors $5c^2 = 2a^2$ puis $(5c)^2 = 10a^2$.
On en déduit $a = 0$ (sinon $\sqrt{10}$ serait rationnel) puis $c = 0$.
Exercice 4:
Supposons par l'absurde que $x = \sqrt[3]{5} + \sqrt{2}$ est rationnel.
Alors $5 = (x - \sqrt{2})^3 = x^3 - 3x^2 \sqrt{2} + 6x - 2 \sqrt{2} = (x^2 + 2) \sqrt{2}$.
Il en résulte que $\sqrt{2} = \frac{x^3 + 6x - 5}{3x^2 + 2}$ est donc $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$, ce qui n'est pas.
Conclusion : le réel $x = \sqrt[3]{5}+ \sqrt{2}$ est irrationnel.
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