Applications et Relations

Énoncé:

Exercice 1:

Soit $E$ un ensemble. Trouver toutes les applications $f$ de $E$ telles que, pour toute application $g$ de $E$, on ait $g \circ f = f \circ g$.

Exercice 2: 

Déterminer l'erreur dans le raisonnement suivant : 

Si une relation $\mathcal{R}$ sur un ensemble de $E$ est symétrique et transitive alors elle est réflexive car pour tous $x, y$ de $E$ : $x \mathcal{R} y \Rightarrow y \mathcal{R} x$ puis $( x \mathcal{R} y$ et $ y \mathcal{R} x) \Rightarrow x \mathcal{R} y$.

Exercice 3:

Quelle est la seule relation sur $E$ qui soit à la fois réflexive, symétrique et antisymétrique?

Corrigé:

Exercice 1:

Soit $x$ un élément de $E$, et $g$ l'application constante qui à tout élément $t$ de $E$ associe $x$.

L'hypothèse $g \circ f = f \circ g$, évaluée en un point quelconque de $E$, donne $ x = f(x) $.

L'application $f$ est donc nécessairement l'identité de $E$.

Réciproquement, l'application identité de $E$ convient de manière évidente.

Exercice 2:

L'erreur vient du fait que pour tout $x$ on suppose l'existence d'un $y$ dans $E$ tel que $x \mathcal{R} y$.

Supposons par exemple que $E$ soit réduit à une paire $\{x, y \}$ et que la relation $\mathcal{R}$ soit définie par le seul $x \mathcal{R} y$, alors $\mathcal{R}$ est symétrique et transitive sans être réflexive.

Exercice 3:

Remarquons que la relation "égalité" sur $E$ vérifie les trois propriétés.

Réciproquement, soit $\mathcal{R}$ réflexive, symétrique et antisymétrique.

D'une part, si $x$ et $y$ sont deux éléments de $E$ tels que $x \mathcal{R} y$, alors on a $x \mathcal{R} y$ par symétrie et donc $x = y$ par antisymétrie : $\mathcal{R}$ est donc la relation "égalité".